Як можна скласти бригаду з чотирьох читців, трьох піаністів, шести співаків і одного фотографа з учасників музичного

Yuzhanka

30

Для розв"язання цієї задачі ми можемо скористатися поняттям комбінаторики. Нам потрібно скласти бригаду з чотирьох читців, трьох піаністів, шести співаків і одного фотографа з учасників чотирьох гуртків.

Давайте розглянемо кожен гурток окремо. У гуртку музичного гуртка є 15 учасників, у гуртку художнього слова - 25 учасників, у вокального гуртка - 8 учасників, а у фотогуртка - 10 учасників.

Якщо нам потрібно вибрати кількість учасників відповідно до кількості місць в бригаді, ми можемо скористатися формулою поєднань (C) з комбінаторики. Формула поєднань задається наступним чином:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

де \(n\) - кількість учасників у гуртку, \(k\) - кількість місць в бригаді.

Отже, застосуємо цю формулу до кожного гуртка:

1. Музичний гурток: \(C(15, 4) = \frac{{15!}}{{4! \cdot (15-4)!}} = \frac{{15!}}{{4! \cdot 11!}}\)
2. Гурток художнього слова: \(C(25, 3) = \frac{{25!}}{{3! \cdot (25-3)!}} = \frac{{25!}}{{3! \cdot 22!}}\)
3. Вокальний гурток: \(C(8, 6) = \frac{{8!}}{{6! \cdot (8-6)!}} = \frac{{8!}}{{6! \cdot 2!}}\)
4. Фотогурток: \(C(10, 1) = \frac{{10!}}{{1! \cdot (10-1)!}} = \frac{{10!}}{{1! \cdot 9!}}\)

Тепер обчислимо значення кожної формули:

1. Музичний гурток: \(C(15, 4) = \frac{{15!}}{{4! \cdot 11!}} = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 1365\)
2. Гурток художнього слова: \(C(25, 3) = \frac{{25!}}{{3! \cdot 22!}} = \frac{{25 \cdot 24 \cdot 23}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 2300\)
3. Вокальний гурток: \(C(8, 6) = \frac{{8!}}{{6! \cdot 2!}} = \frac{{8 \cdot 7}}{{2 \cdot 1}} = 28\)
4. Фотогурток: \(C(10, 1) = \frac{{10!}}{{1! \cdot 9!}} = \frac{{10}}{{1}} = 10\)

Отже, за допомогою формули поєднань, отримали наступні значення:

Музичний гурток: 1365 способів скласти бригаду з чотирьох читців,
Гурток художнього слова: 2300 способів скласти бригаду з трьох піаністів,
Вокальний гурток: 28 способів скласти бригаду з шести співаків,
Фотогурток: 10 способів скласти бригаду з одного фотографа.

Щоб отримати загальну кількість способів скласти бригаду, ми помножимо всі ці значення разом:

Всього способів: \(1365 \cdot 2300 \cdot 28 \cdot 10 = 889,320,000\)

Отже, є 889,320,000 способів скласти бригаду з учасників гуртків.