Як знайти довжину сторони DF трикутника KDF, якщо відомо, що КF = 12 см, К = 135° і D = 30°?

Blestyaschaya_Koroleva

61

Для решения задачи нам понадобится тригонометрия. Начнем с построения треугольника KDF.

1. Возьмите лист бумаги и проведите отрезок KD. В этом случае точка K будет вершиной треугольника KDF.

2. Из точки K проведите отрезок KF длиной 12 см с помощью линейки. Теперь у нас есть сторона KF треугольника.

3. Для дальнейшего построения нам нужно знать два внутренних угла треугольника. У нас даны углы К = 135° и D = 30°.

4. Используя уголомер, установите угол К в 135°. Проведите отрезок DF, начиная от точки D и проходящий через K.

5. Измерьте угол D с помощью угломера и установите его равным 30°.

6. Теперь у нас есть треугольник KDF, и мы можем перейти к нахождению длины стороны DF.

7. Обратите внимание, что мы знаем длину стороны KF (12 см). Давайте предположим, что сторона DF равна x сантиметрам.

8. Теперь применим теорему косинусов для треугольника KDF. Она гласит:

\[DF^2 = DK^2 + KF^2 - 2 \cdot DK \cdot KF \cdot \cos(DK, KF)\]

9. Подставляем известные значения:

\[x^2 = DK^2 + 12^2 - 2 \cdot DK \cdot 12 \cdot \cos(30°)\]

10. Найдем величину DK. Для этого используем теорему синусов для треугольника KDF:

\[\frac{{DK}}{{\sin(30°)}} = \frac{{KF}}{{\sin(135°)}}\]

11. Подставив известные значения, получим:

\[\frac{{DK}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{12}}{{\frac{1}{\sqrt{2}}}}\]

12. Упростим данное выражение:

\[2 \cdot DK = 12 \sqrt{2}\]

13. Выразим DK:

\[DK = 6 \sqrt{2}\]

14. Теперь подставим известные значения в уравнение для DF:

\[x^2 = (6 \sqrt{2})^2 + 12^2 - 2 \cdot 6 \sqrt{2} \cdot 12 \cdot \cos(30°)\]

15. Выполняем вычисления:

\[x^2 = 72 + 144 - 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[x^2 = 216 - 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[x^2 = 216 - 72 \sqrt{3}\]

16. Итак, длина стороны DF равна:

\[DF = \sqrt{216 - 72 \sqrt{3}}\]

17. Применяя калькулятор, мы можем найти точное значение:

\[DF \approx 7.11 \, \text{см}\]

Таким образом, длина стороны DF треугольника KDF примерно равна 7.11 см.