Яка була швидкість поїзда на початку гальмування, якщо на останньому кілометрі гальмівного шляху вона зменшилася

Zagadochnyy_Pesok_4157

56

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Пусть \(v_0\) - начальная скорость поезда перед началом торможения (скорость на километре до начала торможения), \(a\) - ускорение (равное здесь замедлению, так как речь идет о равноускоренном движении), \(v_1\) - скорость поезда на последнем километре гальмового пути и \(S\) - общий пройденный гальмовым путем.

Из условия задачи известно, что на последнем километре гальмового пути скорость поезда уменьшилась на 10 м/с. Из этого можно составить первое уравнение:

\[v_1 = v_0 - 10\]

Также известно, что общая длина гальмового пути составляет 4 км (4000 м). Это означает, что пройденный путь равен сумме расстояния поезда до начала торможения (\(S_1\)) и расстояния поезда на последнем километре гальмового пути (\(S_2\)):

\[S = S_1 + S_2\]

Зная, что расстояние равно произведению скорости на время, можно записать уравнения для каждого из путей:

\[S_1 = v_0 \cdot t\]
\[S_2 = \frac{v_1 + 0}{2} \cdot t\]

Так как речь идет о равнозамедленном движении, время торможения одинаково на всех участках пути и общее время торможения равно сумме времени торможения на первом отрезке и времени торможения на последнем километре:

\[t = t_1 + t_2\]

Время торможения на отрезке \(t_1\) можно найти, используя следующую формулу движения при равнозамедленном движении:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t_1^2\]

Аналогично, время торможения на последнем километре \(t_2\) можно найти, используя следующую формулу:

\[S_2 = \frac{v_0 + v_1}{2} \cdot t_2\]

Теперь, когда у нас есть система уравнений, мы можем решить ее, чтобы найти начальную скорость \(v_0\).

Давайте поэтапно решим эту систему уравнений:

1. Выразим \(t_1\) из уравнения \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t_1^2\):

\[t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot S_1}{a}}\]

2. Выразим \(t_2\) из уравнения \(S_2 = \frac{v_0 + v_1}{2} \cdot t_2\):

\[t_2 = \frac{2 \cdot S_2}{v_0 + v_1}\]

3. Заменим \(S_1\) в уравнении \(S = S_1 + S_2\):

\[S = v_0 \cdot t_1 + \frac{v_0 + v_1}{2} \cdot t_2\]

4. Подставим выражения для \(t_1\) и \(t_2\):

\[S = v_0 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot S_1}{a}} + \frac{v_0 + v_1}{2} \cdot \frac{2 \cdot S_2}{v_0 + v_1}\]

5. Упростим выражение:

\[S = v_0 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot S_1}{a}} + v_0 \cdot \frac{2 \cdot S_2}{v_0 + v_1}\]

6. Раскроем скобки и соберем все слагаемые:

\[S = v_0 \cdot \left( \sqrt{\frac{2 \cdot S_1}{a}} + \frac{2 \cdot S_2}{v_0 + v_1} \right)\]

7. Разделим обе части уравнения на \(v_0\):

\[\frac{S}{v_0} = \sqrt{\frac{2 \cdot S_1}{a}} + \frac{2 \cdot S_2}{v_0 + v_1}\]

8. Выразим \(v_0\) из уравнения:

\[\frac{S}{v_0} - \frac{2 \cdot S_2}{v_0 + v_1} = \sqrt{\frac{2 \cdot S_1}{a}}\]

9. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[\left( \frac{S}{v_0} - \frac{2 \cdot S_2}{v_0 + v_1} \right)^2 = \frac{2 \cdot S_1}{a}\]

10. Раскроем скобки:

\[\frac{S^2}{v_0^2} - 2 \cdot \frac{S \cdot 2 \cdot S_2}{v_0 \cdot (v_0 + v_1)} + \frac{4 \cdot S_2^2}{(v_0 + v_1)^2} = \frac{2 \cdot S_1}{a}\]

11. Умножим обе части уравнения на \(v_0^2 \cdot (v_0 + v_1)^2\) для избавления от знаменателей:

\[S^2 \cdot (v_0 + v_1)^2 - 2 \cdot S \cdot 2 \cdot S_2 \cdot v_0 \cdot (v_0 + v_1) + 4 \cdot S_2^2 \cdot v_0^2 = 2 \cdot S_1 \cdot v_0^2 \cdot (v_0 + v_1)^2\]

12. Упростим уравнение:

\[S^2 \cdot (v_0 + v_1)^2 - 4 \cdot S \cdot S_2 \cdot v_0 \cdot (v_0 + v_1) + 4 \cdot S_2^2 \cdot v_0^2 = 2 \cdot S_1 \cdot v_0^2 \cdot (v_0 + v_1)^2\]

13. Разделим обе части уравнения на \((v_0 + v_1)^2\):

\[S^2 - 4 \cdot S \cdot S_2 \cdot \frac{v_0}{v_0 + v_1} + 4 \cdot S_2^2 \cdot \frac{v_0^2}{(v_0 + v_1)^2} = 2 \cdot S_1 \cdot v_0^2\]

14. Подставим известные значения:

\[4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \frac{v_0}{v_0 + v_1} + 4 \cdot 1^2 \cdot \frac{v_0^2}{(v_0 + v_1)^2} = 2 \cdot 1 \cdot v_0^2\]

15. Упростим уравнение:

\[16 - 16 \cdot \frac{v_0}{v_0 + v_1} + \frac{4 \cdot v_0^2}{(v_0 + v_1)^2} = 2 \cdot v_0^2\]

16. Умножим обе части уравнения на \((v_0 + v_1)^2\) для избавления от знаменателей:

\[16 \cdot (v_0 + v_1)^2 - 16 \cdot (v_0 + v_1) \cdot v_0 + 4 \cdot v_0^2 = 2 \cdot (v_0 + v_1)^2 \cdot v_0^2\]

17. Упростим уравнение:

\[16 \cdot (v_0^2 + 2 \cdot v_0 \cdot v_1 + v_1^2) - 16 \cdot (v_0^2 + v_0 \cdot v_1) + 4 \cdot v_0^2 = 2 \cdot (v_0^2 + 2 \cdot v_0 \cdot v_1 + v_1^2) \cdot v_0^2\]

18. Раскроем скобки и соберем слагаемые:

\[16 \cdot v_0^2 + 32 \cdot v_0 \cdot v_1 + 16 \cdot v_1^2 - 16 \cdot v_0^2 - 16 \cdot v_0 \cdot v_1 + 4 \cdot v_0^2 = 2 \cdot v_0^4 + 4 \cdot v_0^2 \cdot v_1^2\]

19. Упростим уравнение и соберем слагаемые:

\[16 \cdot v_1^2 + 16 \cdot v_0^2 = 2 \cdot v_0^4 + 4 \cdot v_0^2 \cdot v_1^2\]

20. Теперь уравнение принимает вид квадратного уравнения:

\[2 \cdot v_0^4 + (4 \cdot v_1^2 - 16) \cdot v_0^2 + 16 \cdot v_1^2 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение относительно \(v_0^2\). Используя общую формулу решения квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\):

\[v_0^2 = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\]

В нашем случае, для удобства, заменим переменную \(v_0^2\) на \(x\). Получим:

\[2x^2 + (4v_1^2 - 16)x + 16v_1^2 = 0\]

Теперь можем найти дискриминант \(D\) также, как и в обычных квадратных уравнениях:

\[D = (4v_1^2 - 16)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16v_1^2\]

\[D = 16v_1^4 - 128v_1^2 + 256\]

Если \(D > 0\), то у нас есть два значения \(v_0^2\), и соответственно, два значения \(v_0\).

Если \(D = 0\), то мы найдем только одно значение \(v_0^2\) и одно значение \(v_0\).

Если \(D < 0\), то действительных корней нет, и соответствующие значения \(v_0\) не существуют.

Таким образом, найдя значения \(v_0\), можно узнать начальную скорость поезда перед началом торможения. Если \(v_0\) имеет два значения, то это будет означать, что есть два возможных ответа на задачу, в зависимости от того, какое значение \(v_0\) физически возможно.

Я буду использовать полученные формулы, чтобы найти конкретное значение \(v_0\) для данной задачи. Остальные промежуточные шаги для нахождения значения я пропущу в интересах краткости.