Яка довжина більшої діагоналі прямого паралелепіпеда зі сторонами 16 см і 10 см, якщо гострий кут між цими сторонами

Roman_7916

54

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о геометрии и теореме Пифагора.

Первым шагом давайте найдем длину меньшей диагонали параллелепипеда. Мы можем использовать формулу Пифагора для этого. По теореме Пифагора длина диагонали \(d\) равна квадратному корню из суммы квадратов длины двух сторон, перпендикулярных данной диагонали.

Для нахождения меньшей диагонали возьмем стороны параллелепипеда, которые состоят в прямом углу, — это стороны длины 10 см и 16 см. Используя формулу Пифагора, получаем:

\[
d_{\text{меньшая}} = \sqrt{10^2 + 16^2} = \sqrt{100 + 256} = \sqrt{356} ≈ 18,87 \, \text{см}
\]

Теперь рассмотрим большую диагональ параллелепипеда. Для этого нам нужно знать длину меньшей диагонали и высоту параллелепипеда. Диагональ большая простирается через высоту и образует ей дополнительный угол, который мы можем найти известным углом между сторонами и прямыми углами параллелепипеда. Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы использовать тригонометрию.

Мы будем использовать тригонометрическую функцию синуса для нахождения высоты, а именно \(sin(60^\circ) = \frac{{\text{противоположная}}}{{\text{гипотенуза}}}\). Мы знаем, что противоположая сторона равна высоте параллелепипеда, а гипотенузой является длина меньшей диагонали.

Рассчитаем высоту следующим образом:

\[
4\sqrt{10} = d_{\text{меньшая}} \cdot \sin(60^\circ) = 18.87 \cdot \frac{1}{2} = 9.435 \, \text{см}
\]

Теперь когда у нас есть высота, мы можем использовать теорему Пифагора для рассчета большей диагонали. Найдем большую диагональ, используя следующую формулу:

\[
d_{\text{большая}} = \sqrt{d_{\text{меньшая}}^2 + (\text{высота})^2} = \sqrt{18.87^2 + 9.435^2} ≈ 21.08 \, \text{см}
\]

Таким образом, длина большей диагонали прямого параллелепипеда с сторонами 16 см и 10 см, гострым углом между ними 60° и высотой равной 4√10, составляет примерно 21.08 см.