Яка довжина кола, якщо довжина хорди дорівнює 2√3 і дуга під кутом 120 градусів? (можна з детальним розв язком

Vecherniy_Tuman

18

Для решения этой задачи вам потребуется знание геометрии и свойств окружностей.

Известно, что дуга под углом 120 градусов относится к окружности как треть ее длины. То есть, длина дуги равна \(\frac{1}{3}\) от общей длины окружности.

Также, известно, что длина хорды, т.е. прямого отрезка, соединяющего концы дуги, равна 2√3.

Давайте рассмотрим более подробно. Поделим окружность на две равные части с помощью хорды. Заметим, что при этом каждая получившаяся дуга будет составлять угол 60 градусов. Учитывая, что изначально дуга была равна 120 градусам, получается, что полная окружность состоит из трех таких дуг.

Таким образом, длина дуги, соответствующей углу 120 градусов, будет равна трети от полной длины окружности.

Поэтому, чтобы найти длину всей окружности, мы можем просто умножить длину данной дуги на 3.

Итак, рассчитаем длину дуги, соответствующей углу 120 градусов. У нас изначально дана длина хорды, равная 2√3.

Существует формула для нахождения длины дуги, используя длину хорды и центральный угол:
\[l = 2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\]

Где \(l\) - длина дуги, \(r\) - радиус окружности, \(\theta\) - центральный угол в радианах.

Поскольку угол измеряется в градусах, а формула требует угол в радианах, нам нужно перевести угол в радианы:
\(\frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}\)

Теперь мы можем выразить длину дуги:
\(l = 2r\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)

Длина дуги равна \(\frac{2\pi}{3}\) радиан:

\(l = 2r\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)

Мы знаем, что длина хорды - это 2√3, и мы хотим найти радиус окружности, поэтому мы можем решить эту формулу относительно \(r\):

\(2√3 = 2r\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)

Деля обе части на 2 и на синус \(\frac{2\pi}{3}\), получаем:

\(√3 = r\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)

\(r = \frac{√3}{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}\)

Теперь мы можем найти длину дуги, умножив радиус на треть:

\(l = \frac{2√3}{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)} \cdot \frac{2\pi}{3}\)

Воспользуемся тригонометрическими значениями для \(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

\(l = \frac{2√3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{2\pi}{3}\)

При сокращении:

\(l = \frac{4√3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2\pi}{3}\)

\(\frac{4√3}{\sqrt{3}} = 4\)

Таким образом, длина дуги под углом 120 градусов равна:

\(l = 4 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}\)

Итак, ответ: длина окружности равна \(\frac{8\pi}{3}\) или примерно 8.38 (с точностью до сотых).