Яка кількість додаткового повітря (у см3) потрібна для надування кульки з формою кулі, якщо площа її поверхні

Мурзик

37

Для вирішення даної задачі нам потрібно знайти співвідношення між початковим об"ємом кульки та новим об"ємом після збільшення її поверхні в 4 рази.

Початкова площа поверхні кульки залежить від її радіуса \( R \) за формулою площі кулі: \[ S = 4\pi R^2 \]

Об"єм кулі також виражається через радіус: \[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]

Умова задачі стверджує, що площа поверхні збільшується в 4 рази. Це означає, що нова площа поверхні \( S_{new} \) буде дорівнювати: \[ S_{new} = 4S \]

Після підставлення виразу для площі поверхні кулі \( S \) ми отримаємо: \[ S_{new} = 4\cdot 4\pi R^2 = 16\pi R^2 \]

Далі, розглянемо новий об"єм кулі \( V_{new} \), який залежить від нового радіуса \( R_{new} \) після збільшення площі поверхні в 4 рази: \[ V_{new} = \frac{4}{3} \pi R_{new}^3 \]

З формули об"єму кулі \( V \) ми можемо виразити радіус \( R \) через формулу: \[ R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} \]

І присвоїти вираз для радіуса кулі \( R_{new} \): \[ R_{new} = R\sqrt{4} = 2R \]

Підставимо цей вираз для радіуса в формулу для нового об"єму \( V_{new} \): \[ V_{new} = \frac{4}{3} \pi (2R)^3 = \frac{4}{3} \pi 8R^3 = 32\pi R^3 \]

Отже, новий об"єм кулі \( V_{new} \) дорівнює 32 рази початковому об"єму. Для знаходження кількості додаткового повітря необхідно відняти початковий об"єм від нового об"єму: \[ V_{додатковий} = V_{new} - V = 32\pi R^3 - \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{92}{3} \pi R^3 \]

Отже, для надування кульки з формою кулі, якщо площа її поверхні збільшується в 4 рази, потрібно \( \frac{92}{3} \pi R^3 \) см³ додаткового повітря.