Яка маса планети, навколо якої супутник рухається по коловій орбіті радіусом 3800 км та з періодом обертання 2 години?

Yarilo

40

Для решения данной задачи, мы будем использовать законы движения тел на орбите. Один из таких законов гласит, что квадрат периода обращения \(T\) равен кубу большой полуоси орбиты \(a\) в кубе.

Дано, что период обращения \(T\) равен 2 часам, а радиус орбиты \(r\) равен 3800 км. В данной задаче, для удобства решения, примем период обращения \(T\) в секундах и радиус орбиты \(r\) в метрах.

Период обращения в секундах можно найти, умножив 2 часа на 60 минут и затем на 60 секунд:

\[T = 2 \times 60 \times 60 = 7200 \text{ секунд}\]

Далее, воспользуемся формулой:

\[T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}a^3\]

где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты, \(a\) - большая полуось орбиты, а \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.1416.

Решим уравнение относительно массы планеты \(M\):

\[\frac{4\pi^2}{GM}a^3 = T^2\]

Выразим массу планеты:

\[M = \frac{4\pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2}\]

Значения гравитационной постоянной \(G\) и математической константы \(\pi\) равны:

\[G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ м}^3 \text{ кг}^{-1} \text{ с}^{-2}\]
\[\pi = 3.1416\]

Подставим известные значения в формулу:

\[M = \frac{4 \cdot (3.1416)^2}{6.67 \times 10^{-11}} \cdot \frac{(3800 \times 10^3)^3}{7200^2}\]

Произведем несложные вычисления, чтобы найти массу планеты.