Яка є фокусна відстань двоопуклої скляної лінзи, яка занурена у воду, якщо вона має фокусну відстань у повітрі

Золотой_Король

29

Щоб знайти фокусну відстань двоопуклої скляної лінзи, зануреної у воду, спочатку варто скористатися формулою тонкої лінзи:

\[\frac{1}{f} = (n - 1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)\]

де \( f \) - фокусна відстань, \( n \) - абсолютний показник заломлення середовища, \( R_1 \) і \( R_2 \) - радіуси кривизни поверхонь лінзи.

В нашому випадку, \( n \) для скла дорівнює 1,5, а для води - 1,33. Також відомо, що фокусна відстань у повітрі (\( f_{air} \)) становить -20 см.

Замінивши ці значення в формулі, ми отримуємо:

\[\frac{1}{f_{water}} = (1.33 - 1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)\]

Тепер давайте розглянемо радіуси кривизни поверхонь лінзи. Якщо лінза є двоопуклою, то обидві поверхні є сферичними. Нехай \( R_1 \) і \( R_2 \) - радіуси кривизни, тоді \( R_1 \) буде додатнім, оскільки це радіус зовнішньої поверхні, а \( R_2 \) буде від"ємним, оскільки це радіус внутрішньої поверхні.

Отже, замінивши значення в формулі, отримуємо:

\[\frac{1}{f_{water}} = (1.33 - 1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{(-R_2)}\right)\]

Нам потрібно вирішити це рівняння для \( f_{water} \). Розкриваємо дужки і знаходжимо зв"язок між радіусами кривизни:

\[\frac{1}{f_{water}} = 0.33\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)\]

Тепер ми зняли множник перед скобками. Помножимо обидві частини на \( R_1R_2 \):

\[\frac{R_1+R_2}{f_{water}} = \frac{0.33(R_1R_2)}{R_1} + \frac{0.33(R_1R_2)}{R_2}\]

Спростивши вираз, ми отримуємо:

\[\frac{R_1+R_2}{f_{water}} = 0.33R_2 + 0.33R_1\]

Тепер ми можемо побачити, що \( R_1+R_2 \) знаходиться як заміна \( R_1+R_2 \) виразу, і \( R_1R_2 \) знаходиться як \(-R_1R_2\). Замінивши ці значення, ми отримуємо:

\[\frac{-R_1R_2}{f_{water}} = 0.33(-R_1R_2) + 0.33R_1(-R_1R_2)\]

Тепер давайте спростимо це рівняння:

\[-\frac{R_1R_2}{f_{water}} = -0.33R_1R_2 + 0.33R_1^2R_2\]

Ми можемо помножити обидві частини на \( f_{water} \), щоб позбавитися від"ємних знаків:

\[R_1R_2 = 0.33R_1R_2 - 0.33R_1^2R_2f_{water}\]

Додамо \( 0.33R_1^2R_2f_{water} \) до обох боків рівняння:

\[R_1R_2 + 0.33R_1^2R_2f_{water} = 0.33R_1R_2\]

Тепер поміняємо сторони рівняння:

\[0.33R_1R_2 = R_1R_2 + 0.33R_1^2R_2f_{water}\]

Загалом це рівняння містить \( R_1R_2 \), тому витягнемо це значення, розділимо обидві частини на \( 0.33R_1R_2 \) і отримаємо:

\[1 = \frac{R_1R_2 + 0.33R_1^2R_2f_{water}}{0.33R_1R_2}\]

Виділимо \( R_1R_2 \) з чисельника:

\[1 = \frac{R_1R_2(1 + 0.33R_1f_{water})}{0.33R_1R_2}\]

Тепер знайдемо зв"язок між \( R_1 \), \( R_2 \) і \( f_{water} \):

\[1 = \frac{1 + 0.33R_1f_{water}}{0.33R_1}\]

Спростимо дріб:

\[0.33R_1 = 1 + 0.33R_1f_{water}\]

Виділимо \( 0.33R_1 \) з правої сторони рівняння:

\[0.33R_1 - 0.33R_1f_{water} = 1\]

Факторизуємо \( 0.33R_1 \) з обох частин рівняння:

\[0.33R_1(1 - f_{water}) = 1\]

Оскільки ми шукаємо величину \( f_{water} \), поділимо обидві частини на \( 0.33R_1 \):

\[1 - f_{water} = \frac{1}{0.33R_1}\]

Тепер необхідно знайти \( f_{water} \). Віднімемо 1 від обох боків рівняння:

\[-f_{water} = \frac{1}{0.33R_1} - 1\]

Помножимо обидві частини на -1, щоб позбавитися від"ємного знаку:

\[f_{water} = 1 - \frac{1}{0.33R_1}\]

Тепер ми можемо обчислити фокусну відстань (\( f_{water} \)) двоопуклої скляної лінзи, яка занурена у воду, використавши дані з умови задачі і дане рівняння.

Не забудьте підставити відповідні значення абсолютного показника заломлення для скла (\( n \)) та фокусної відстані у повітрі (\( f_{air} \)) перед розв"язанням рівняння для \( R_1 \). Після знаходження \( R_1 \), використовуйте останнє рівняння для фокусної відстані (\( f_{water} \)) замість \( R_1 \), щоб знайти шукану величину.