Яка маса тягарця, який коливається на пружині жорсткістю 75 Н/м і має амплітуду коливань б см, якщо його швидкість

Nikolaevna

39

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Понимание задачи
Мы задачу имеем дело с тягарцем, который колеблется на пружине. Массу тягарца обозначим буквой \(m\), а амплитуду колебаний - \(b\). Также дана жесткость пружины \(k\) и скорость тягарца \(v\) в положении равновесия.

Шаг 2: Используем закон Гука и закон сохранения энергии
Закон Гука утверждает, что сила \(F\) расширения или сжатия пружины пропорциональна её удлинению или сжатию. Он может быть записан как \(F = -kx\), где \(k\) - жесткость пружины, а \(x\) - удлинение или сжатие пружины.

Также, согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия системы остается постоянной во время колебаний. В положении равновесия, когда скорость равна 0, энергия системы состоит только из потенциальной энергии пружины, и она равна \(E_p = \frac{1}{2} kx^2\).

Шаг 3: Решение задачи
Из условия задачи мы знаем, что скорость тягарца в положении равновесия \(v = 0,5 \, \text{м/с}\). Тогда можно записать уравнение энергии системы:
\[\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} m v^2\]
Подставляем известные значения: \(k = 75 \, \text{Н/м}\), \(x = b\) и \(v = 0,5 \, \text{м/с}\):
\[\frac{1}{2} \cdot 75 \cdot b^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (0,5)^2\]
Упрощаем выражение, сокращая обе стороны на \(\frac{1}{2}\):
\[75 \cdot b^2 = m \cdot 0,25\]
Теперь выражаем массу \(m\):
\[m = \frac{75 \cdot b^2}{0,25}\]

Шаг 4: Вычисляем значение массы
Для вычисления массы тягарца подставим значение амплитуды колебаний \(b\) (в сантиметрах) в полученное уравнение:
\[m = \frac{75 \cdot b^2}{0,25}\]

Таким образом мы получим значение массы тягарца в зависимости от амплитуды колебаний \(b\).

***
Обобщая, масса тягарца, который колеблется на пружине жесткостью \(75 \, \text{Н/м}\) и имеет амплитуду колебаний \(b\) сантиметров, рассчитывается по формуле:
\[m = \frac{75 \cdot b^2}{0,25}\]

Помните, что в данной формуле масса будет выражена в тех же единицах, что и жесткость пружины \(k\) (в нашем случае - ньютонах на метр, или \(\text{Н/м}\)) и амплитуда колебаний \(b\) (в нашем случае - сантиметрах, или \(\text{см}\)).