Яка мінімальна горизонтальна швидкість потрібна, щоб кулька зробила повний оберт у вертикальній площині, якщо вона

Звездопад_На_Горизонте_8594

70

Для решения данной задачи будем использовать законы сохранения механики.

Как известно, вращательное движение поддерживается за счет момента сил, действующих на тело. В данном случае кулька будет вращаться под действием гравитационной силы и силы натяжения стержня.

Чтобы кулька сделала полный оборот, необходимо, чтобы сила натяжения проводила работу, равную полной работе гравитационной силы по перемещению кульки.

Работа силы гравитации вычисляется по формуле:
\[ W_g = mgh \]
где m - масса кульки, g - ускорение свободного падения, h - высота опущения кульки.

Работа силы натяжения стержня равна произведению модуля этой силы на перемещение. При вращении кульки в полной окружности это перемещение равно длине окружности \( l = 2\pi R \), где R - радиус кругового движения кульки.

Рассмотрим силы, действующие на кульку в момент, когда она находится в самой нижней точке своего движения. В этом случае сила натяжения стержня и гравитационная сила будут направлены по разным направлениям, и сила натяжения стержня будет равна сумме этих сил по модулю. При этом, чтобы кулька выполнила полный оборот, сила натяжения стержня должна быть неотрицательна, то есть величина гравитационной силы должна быть не больше величины силы натяжения стержня.

Обозначим силу натяжения стержня как \( T \) и запишем уравнение для равновесия сил в самой нижней точке движения кульки:
\[ mg + T = 0 \]
\[ T = -mg \]

Чтобы найти минимальную горизонтальную скорость, необходимую для полного оборота кульки, воспользуемся равенством момента силы и момента инерции:
\[ \tau = I\alpha \]
где \( \tau \) - момент силы, действующий на кульку, \( I \) - момент инерции кульки относительно оси вращения, \( \alpha \) - угловое ускорение.

Момент инерции для кульки, которая вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс, равен:
\[ I = \frac{2}{5}mR^2 \]

Для рассмотренного момента в самой нижней точке движения, момент силы будет равен:
\[ \tau = TR = (-mg)R \]

Используя найденные значения, получаем:
\[ \tau = I\alpha \Rightarrow (-mg)R = \frac{2}{5}mR^2\alpha \]
\[ \alpha = \frac{-5g}{2R} \]

Так как \(\alpha = \frac{v}{R}\), где \(v\) - линейная скорость, получаем:
\[ \frac{v}{R} = \frac{-5g}{2R} \]
\[ v = \frac{-5g}{2} \]

Таким образом, минимальная горизонтальная скорость, которую необходимо иметь кульке, чтобы она сделала полный оборот, составляет \(\frac{-5g}{2}\). Важно отметить, что для выполнения данной задачи были использованы законы сохранения механики и преобразованы в уравнения для нахождения искомой скорости.