Яка є об єм правильної чотирикутної піраміди, якої діагональ основи становить 4 см і бічне ребро утворює кут з площиною

Муравей

46

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам понадобится знать длину бокового ребра и длину диагонали основания. Давайте рассмотрим данные и приступим к решению задачи.

Дано:
Длина диагонали основания (d) = 4 см
Боковое ребро (a) образует угол с плоскостью основания

Первым шагом определим сторону основания (s) с помощью диагонали основания (d). В прямоугольной четырехугольной пирамиде, диагональ основания является главной диагональю прямоугольника, а стороны основания соответствуют сторонам прямоугольника. Зная диагональ основания, мы можем использовать формулу для нахождения стороны прямоугольника:

\[s = \frac{{d}}{{\sqrt{{2}}}}\]

Подставляем известные значения:
\[s = \frac{{4}}{{\sqrt{{2}}}}\]

Упрощаем:
\[s = \frac{{4 \cdot \sqrt{{2}}}}{{2}} = 2 \cdot \sqrt{{2}}\]

Теперь, имея длину стороны основания, мы можем найти высоту пирамиды (h) с помощью прямоугольного треугольника, образованного стороной основания и боковым ребром. Так как боковое ребро образует прямой угол с плоскостью основания, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[h = \sqrt{{a^2 - s^2}}\]

Подставляем известные значения:
\[h = \sqrt{{a^2 - (2 \cdot \sqrt{{2}})^2}}\]

Упрощаем:
\[h = \sqrt{{a^2 - 8}}\]

Теперь, чтобы найти объем пирамиды (V), мы можем использовать формулу:

\[V = \frac{{s^2 \cdot h}}{{3}}\]

Подставляем известные значения:
\[V = \frac{{(2 \cdot \sqrt{{2}})^2 \cdot \sqrt{{a^2 - 8}}}}{{3}}\]

Упрощаем:
\[V = \frac{{8 \cdot (a^2 - 8)^{\frac{{1}}{{2}}}}}{{3}}\]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды, при условии диагонали основания 4 см и бокового ребра, образующего угол с плоскостью основания, будет равен \(\frac{{8 \cdot (a^2 - 8)^{\frac{{1}}{{2}}}}}{{3}}\) см³.