Яка площа квадрата вписаного в коло, якщо площа правильного шестикутника, що описується навколо кола, становить

Песчаная_Змея_5259

53

Чтобы решить данную задачу, нужно использовать некоторые свойства фигур, в частности, связанные с квадратами и правильными шестиугольниками.

Мы знаем, что площадь правильного шестиугольника, описанного вокруг круга, составляет 6 корней. Обозначим это значение как S.

Также у нас есть квадрат, вписанный в этот же круг. Обозначим сторону этого квадрата как a, а его площадь как S".

Давайте разберемся, как можно связать эти два значения и найти площадь квадрата вписанного в круг.

Первое свойство, которое следует использовать, заключается в том, что радиус окружности, описанной вокруг фигуры, равен стороне шестиугольника \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Площадь круга, описанного вокруг шестиугольника, может быть найдена с помощью формулы: \(S_{\text{круга}} = \pi R^2\).

Поскольку составляет 6 корней, то \(S_{\text{круга}} = 6\sqrt{3}\).

Теперь мы должны использовать второе свойство: отношение площадей кругов и квадратов, вписанных в них. Оно гласит, что отношение площадей вписанного квадрата и описанного круга равно \(\frac{1}{2}\).

То есть: \(\frac{S"}{S_{\text{круга}}} = \frac{1}{2}\).

Подставляя значения, которые у нас есть, мы получаем: \(\frac{S"}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\).

Решим это уравнение относительно S":
\(S" = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\).

Таким образом, площадь квадрата, вписанного в данный круг, равна \(3\sqrt{3}\).