Яка площа прямокутної трапеції, у якої різниця довжин основ дорівнює 15 см, а радіус вписаного кола

Zolotoy_Korol

28

Для решения задачи, давайте разберемся с определением прямокутной трапеции. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Одна пара противоположных сторон называется основаниями трапеции. Основания обозначим как \(a\) и \(b\), а высоту трапеции обозначим как \(h\).

Из условия задачи известно, что разница длин оснований трапеции равна 15 см. Можно записать это в виде уравнения:
\[b - a = 15\]

Также в задаче говорится о вписанном круге. Вписанный круг - это круг, который полностью лежит внутри фигуры и касается всех ее сторон. Радиус вписанного круга обозначим как \(r\).

Для решения задачи, нам необходимо найти площадь прямокутной трапеции. Формула для вычисления площади такой трапеции выглядит следующим образом:
\[S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2}\]

Теперь нам необходимо выразить высоту трапеции через известные значения. Наиболее удобный способ сделать это - использовать радиус вписанного круга.

Мы знаем, что радиус вписанного круга является расстоянием от центра круга до любой его стороны. Расстояние от вершины трапеции до центра круга составляет радиус вписанного круга, а расстояние от основания трапеции до центра круга составляет \(h - r\). Если мы представим это на рисунке, у нас будет прямоугольный треугольник, где катеты равны \(h - r\) и \(r\), а гипотенуза - это высота трапеции \(h\). Используя теорему Пифагора, мы можем записать следующее уравнение:
\[(h - r)^2 + r^2 = h^2\]

Проведя преобразования, мы получим уравнение:
\[2rh - r^2 = h^2\]
\[h^2 - 2rh + r^2 = 0\]

Теперь, чтобы найти высоту трапеции, мы можем использовать квадратное уравнение. Решив его, мы найдем два возможных значения для высоты, однако, нам нужно выбрать положительное значение, так как высота не может быть отрицательной. Найденное значение должно быть записано как \(h\).

Когда у нас есть известные значения оснований \(a\) и \(b\) и высоты \(h\), мы можем подставить их в формулу для площади трапеции и рассчитать значение площади прямокутной трапеции \(S\).

Это подробное пошаговое решение задачи. Если вам необходимы численные значения или окончательный ответ, пожалуйста, укажите их.