Яка є середня шляхова та середня векторна швидкість матеріальної точки під час руху по дузі окружності радіусом

Solnechnyy_Kalligraf

69

Перед тем, как мы перейдем к решению задачи, давайте разберемся в определениях, чтобы было понятно, о чем идет речь.

Середня шляхова скорость - это отношение пройденного пути к затраченному времени:
\[v = \frac{s}{t}\]
где \(v\) - середня шляхова скорость, \(s\) - пройденное расстояние, а \(t\) - время.

Середня векторная скорость - это отношение суммы векторных приращений \(s\) к суммарному затраченному времени \(t\):
\[\overrightarrow{v} = \frac{\sum{\Delta \overrightarrow{s}}}{\sum{\Delta t}}\]
где \(\overrightarrow{v}\) - середня векторная скорость, \(\Delta \overrightarrow{s}\) - векторное приращение пути, \(\Delta t\) - время, в течение которого происходит это приращение.

Теперь приступим к решению задачи.

Распространенным способом задания движения по окружности является указание скорости \(v\) (модуля) и направления (указание, что это движение происходит по окружности). В данной задаче дана скорость только для первой и второй четверти окружности. Чтобы найти середнюю векторную скорость для всего положительного полупериода окружности, надо сложить векторные приращения пути для каждой четверти.

1. Рассмотрим первую четверть окружности:
За время \(t_1\), равное четверти периода, пройденный путь \(s_1\) равен дуге окружности, описываемой первой четвертью, т.е. половине полного периметра окружности.
Полный периметр окружности равен \(2 \pi R\), где \(R\) - радиус окружности. Так как дана дуга окружности, равную половине полного периметра, то:
\[s_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \pi R = \pi R\]

Затраченное время \(t_1\) равно четверти периода, т.е. одной четвертой от времени, которое необходимо для прохождения полного периода (оборота) окружности. Обозначим время полного периода окружности как \(T\), тогда:
\[t_1 = \frac{T}{4}\]

С учетом этих значений, значение середней векторной скорости \(\overrightarrow{v_1}\) для первой четверти окружности можно найти, используя формулу:
\[\overrightarrow{v_1} = \frac{\Delta \overrightarrow{s_1}}{\Delta t_1} = \frac{\overrightarrow{s_1}}{t_1}\]

Подставляя значения:
\[\overrightarrow{v_1} = \frac{\pi R}{\frac{T}{4}} = \frac{4 \pi R}{T}\]

2. Рассмотрим вторую четверть окружности:
Аналогичным образом, за время \(t_2\), равное четверти периода, пройденный путь \(s_2\) равен \(s_1\):
\[s_2 = s_1 = \pi R\]

Затраченное время \(t_2\) также равно четверти периода, т.е. одной четвертой времени полного периода:
\[t_2 = \frac{T}{4}\]

Тогда значение середней векторной скорости \(\overrightarrow{v_2}\) для второй четверти окружности равно:
\[\overrightarrow{v_2} = \frac{\Delta \overrightarrow{s_2}}{\Delta t_2} = \frac{\overrightarrow{s_2}}{t_2}\]

Подставляя значения:
\[\overrightarrow{v_2} = \frac{\pi R}{\frac{T}{4}} = \frac{4 \pi R}{T}\]

3. Так как векторные приращения пути в первой и второй четвертях окружности равны, а времена их прохождения также равны, то значит их суммарное векторное приращение пути будет равно:
\(\Delta \overrightarrow{s} = \Delta \overrightarrow{s_1} + \Delta \overrightarrow{s_2} = 2 \Delta \overrightarrow{s_1}\)

А суммарное время равно сумме времен первой и второй четвертей:
\(\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = \frac{T}{2}\)

Значит, значение середней векторной скорости для всего положительного полупериода окружности равно:
\[\overrightarrow{v} = \frac{\Delta \overrightarrow{s}}{\Delta t} = \frac{2 \Delta \overrightarrow{s_1}}{\frac{T}{2}} = \frac{4 \pi R}{T}\]

Таким образом, середняя векторная скорость материальной точки при движении по половине окружности радиусом 4 м будет \(\frac{4 \pi \cdot 4}{T}\), где \(T\) - время одного полного оборота окружности.