Яка відстань між паралельними площинами, якщо один відрізок довжиною 5 см утворює кут 30° з однією з площин, а другий

Putnik_S_Zvezdoy

70

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание теоремы о параллельных плоскостях.

В данной задаче у нас есть два отрезка: один длиной 5 см и угол между ним и одной из плоскостей равен 30°, а второй отрезок длиной \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\) см, и нам нужно найти расстояние между плоскостями и угол между вторым отрезком и одной из плоскостей.

Для начала определимся, какой отрезок соответствует высоте между плоскостями. Расстояние между параллельными плоскостями равно расстоянию между ними вдоль перпендикулярного отрезка. В данном случае, таким отрезком является второй отрезок длиной \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\) см.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный этим отрезком, его высотой (расстоянием между плоскостями) и стороной равной 5 см, которая образует угол 30° с одной из плоскостей.

Используя геометрические свойства треугольника, мы можем найти высоту (расстояние между плоскостями) по теореме косинусов:

\[
h^2 = 5^2 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2
\]

\[
h^2 = 25 - \frac{25}{3}
\]

\[
h^2 = \frac{50}{3}
\]

\[
h = \sqrt{\frac{50}{3}}
\]

Таким образом, расстояние между плоскостями составляет \(\sqrt{\frac{50}{3}}\) см.

Далее, чтобы найти угол между вторым отрезком и одной из плоскостей, мы можем использовать теорему синусов:

\[
\sin(\text{{угол}}) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

В данном случае противоположная сторона - это расстояние между плоскостями, а гипотенуза - второй отрезок длиной \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\) см. Получим:

\[
\sin(\text{{угол}}) = \frac{{\sqrt{\frac{50}{3}}}}{{\frac{{5\sqrt{3}}}{3}}}
\]

\[
\sin(\text{{угол}}) = \frac{{\sqrt{\frac{50}{3}}}}{{\frac{{5\sqrt{3}}}{3}}}
\]

\[
\sin(\text{{угол}}) = \sqrt{\frac{50}{45}}
\]

\[
\sin(\text{{угол}}) = \sqrt{\frac{10}{9}}
\]

Теперь найдем сам угол, применив обратную функцию синуса:

\[
\text{{угол}} = \arcsin\left(\sqrt{\frac{10}{9}}\right)
\]

Подставив значение в тригонометрический калькулятор, получим численное значение угла.

Таким образом, расстояние между параллельными плоскостями равно \(\sqrt{\frac{50}{3}}\) см, а угол между вторым отрезком и одной из плоскостей можно получить численным значением, применяя обратную функцию синуса к \(\sqrt{\frac{10}{9}}\).