Яка висота паралелепіпеда, якщо сторони його основи відносяться як 1:2 і площа його повної поверхні становить 76 см²

Raduzhnyy_List

8

Для решения этой задачи, давайте введем обозначения для сторон основы параллелепипеда. Пусть длина одной из сторон будет \(x\), тогда длина второй стороны будет \(2x\).

Мы знаем, что площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда состоит из площадей его основ и боковых поверхностей. Из условия задачи, площадь основы равна \(76\) см², а площадь боковой поверхности равна \(60\) см².

Посчитаем площадь боковой поверхности. Она представляет собой площадь прямоугольника со сторонами, равными периметру основы и высоте. По условию, высота параллелепипеда нам неизвестна, но это и есть то, что мы собираемся найти.

Площадь боковой поверхности в параллелепипеде с однородными сторонами равна произведению высоты на периметр основы. Поэтому мы можем записать:

\[60 = x \cdot 2x \cdot H\]

Упростим уравнение:

\[60 = 2x^2 \cdot H\]

Теперь рассмотрим площадь всей поверхности. Площадь каждой основы равна \(76\) см² и их всего две, поэтому площадь обоих основ равна \(2 \cdot 76 = 152\) см². Боковая поверхность составляет \(60\) см², поэтому площадь всех поверхностей параллелепипеда равна:

\[S = 152 + 60\]

\[S = 212\]

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[2x^2 \cdot H = 60\]
\[152 + 60 = 212\]

Теперь найдем высоту \(H\), подставив значение \(S\) в первое уравнение:

\[2x^2 \cdot H = 60\]

\[2x^2 \cdot H = 212 - 152\]

\[2x^2 \cdot H = 60\]

\[H = \frac{60}{2x^2}\]

\[H = \frac{30}{x^2}\]

Теперь мы должны найти значение \(x\). Для этого воспользуемся площадью основы:

\[x \cdot 2x = 76\]

\[2x^2 = 76\]

\[x^2 = \frac{76}{2}\]

\[x^2 = 38\]

Отсюда найдём значение \(x\):

\[x = \sqrt{38}\]

Теперь мы можем найти высоту:

\[H = \frac{30}{x^2}\]

\[H = \frac{30}{38}\]

Вот и ответ: высота параллелепипеда равна \(\frac{30}{38}\) см.