Яка висота трикутника AMD у трапеції ABCD, якщо діагоналі перетинаються у точці М, так що SABМС : SАМР = 4

Японец

70

Щоб знайти висоту трикутника AMD в трапеції ABCD, нам потрібно використовувати співвідношення між площами трикутників.

За умовою маємо, що відношення площ прямокутників SABМС і SАМР дорівнює 4 : 25. Оскільки трикутник AMD є спільним боковим бічним прямокутників, то його площа також може бути виражена через це відношення.

Позначимо висоту трикутника AMD як h. Також, позначимо висоту трапеції ABCD як h₁, а висоту трикутника AHB як h₂.

Відношення площ можна записати наступним чином:

\[\frac{S_{ABMC}}{S_{AMRP}} = \frac{S_{ABMC}}{\frac{1}{2}S_{ABM}} = \frac{2S_{ABMC}}{S_{ABM}} = \frac{4}{25}\]

Оскільки SABМС складається з двох прямокутних трикутників - ABC та AMD, можемо записати:

\[S_{ABMC} = S_{ABC} + S_{AMD}\]

Площу трикутника ABC можна виразити через висоту трапеції:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2}h₁(b₁+b₂)\]

Де b₁ та b₂ - основи трапеції ABCD.

Площу трикутника AMD можна виразити через висоту трикутника AMD (h):

\[S_{AMD} = \frac{1}{2}h(b₁+b₂)\]

Підставимо ці значення у рівняння для SABМС:

\[2(S_{ABC}+S_{AMD}) = \frac{4}{25}(S_{ABC}+S_{AMD})\]

Замінюємо значення SABC та SAMD:

\[2\left(\frac{1}{2}h₁(b₁+b₂)+\frac{1}{2}h(b₁+b₂)\right) = \frac{4}{25}\left(\frac{1}{2}h₁(b₁+b₂)+\frac{1}{2}h(b₁+b₂)\right)\]

Скорочуючи числівник та знаменник на \(\frac{1}{2}(b₁+b₂)\), отримаємо:

\[2h₁ + 2h = \frac{4}{25}(h₁ + h)\]

Розкриваємо дужки:

\[2h₁ + 2h = \frac{4}{25}h₁ + \frac{4}{25}h\]

Помножимо обидві частини рівняння на 25 для зручності:

\[50h₁ + 50h = 4h₁ + 4h\]

Згрупуємо подібні члени:

\[50h₁ - 4h₁ = 4h - 50h\]

\[46h₁ = -46h\]

Поділимо обидві частини на 46:

\[h₁ = -h\]

Отже, висота трикутника AMD дорівнює висоті трапеції ABCD, але має протилежний знак. Тобто, h₁ = -h.