Яке прискорення руху тіла в момент часу t=2c, якщо тіло рухається прямолінійно за законом s(t)=1/3t^3+4t^2-3t+1?

Космический_Астроном

37

Для решения данной задачи мы должны найти вторую производную функции \( s(t) \), чтобы найти ускорение тела в момент времени \( t = 2c \).

Шаг 1: Найдем первую производную функции \( s(t) \).

\[ s"(t) = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{3}t^3+4t^2-3t+1\right) \]

Применяем правило дифференцирования каждого слагаемого:

\[ s"(t) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dt}(t^3) + 4 \cdot \frac{d}{dt}(t^2) - 3 \cdot \frac{d}{dt}(t) + \frac{d}{dt}(1) \]

Рассчитаем производные каждого слагаемого:

\[ s"(t) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 + 4 \cdot 2t - 3 \cdot 1 + 0 \]

Упрощаем выражение:

\[ s"(t) = t^2 + 8t - 3 \]

Шаг 2: Найдем вторую производную функции \( s(t) \).

\[ s""(t) = \frac{d}{dt} (s"(t)) = \frac{d}{dt}(t^2 + 8t - 3) \]

Применяем правило дифференцирования ко всем слагаемым:

\[ s""(t) = \frac{d}{dt}(t^2) + \frac{d}{dt}(8t) - \frac{d}{dt}(3) \]

Рассчитаем производные каждого слагаемого:

\[ s""(t) = 2t + 8 - 0 \]

Упрощаем выражение:

\[ s""(t) = 2t + 8 \]

Шаг 3: Найдем ускорение тела в момент времени \( t = 2c \), подставив значение второй производной:

\[ a = s""(2c) = 2 \cdot (2c) + 8 \]

Упрощаем выражение:

\[ a = 4c + 8 \]

Таким образом, ускорение тела в момент времени \( t = 2c \) равно \( 4c + 8 \).