Яке прискорення вільного падіння на планеті зі збільшеним радіусом у чотири рази порівняно з радіусом Землі та масою

Solnechnyy_Briz

69

Для розуміння та розв"язання цієї задачі, ми можемо скористатися законом всесвітнього тяжіння та другим законом Ньютона.

Закон всесвітнього тяжіння говорить нам, що сила тяжіння між двома тілами залежить від їх мас та відстані між ними. Вираз для сили тяжіння між двома тілами виглядає так:

\[F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]

де \(F\) - сила тяжіння, \(G\) - гравітаційна константа (\(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)), \(m_1\) та \(m_2\) - маси двох тіл, \(r\) - відстань між ними.

У нашій задачі ми маємо планету зі зміненим радіусом і масою, порівняно з Землею. Нехай \(M_1\) та \(R_1\) позначають масу та радіус Землі відповідно. Ми також маємо планету з масою, що перевищує масу Землі в 51 раз, і радіусом, який у 4 рази більший за радіус Землі. Отже, маса цієї нової планети буде \(M_2 = 51 \cdot M_1\), а радіус - \(R_2 = 4 \cdot R_1\).

Тепер ми можемо обчислити прискорення вільного падіння на цій планеті. Для цього нам спочатку потрібно знайти силу тяжіння, яку відчуває тіло на поверхні планети.

Запишемо закон Ньютона:

\[F = m \cdot a\]

де \(F\) - сила, \(m\) - маса тіла, \(a\) - прискорення тіла.

У нашій задачі, тіло, що падає, має масу \(m\), а сила, що діє на нього, це сила тяжіння на поверхні нової планети.

Застосуємо закон всесвітнього тяжіння:

\[F = G \cdot \frac{m \cdot M_2}{R_2^2}\]

Підставимо вирази для \(M_2\) та \(R_2\):

\[F = G \cdot \frac{m \cdot (51 \cdot M_1)}{(4 \cdot R_1)^2}\]

Скористаймося другим законом Ньютона:

\[F = m \cdot a\]

Порівнуємо два вирази для сили:

\[G \cdot \frac{m \cdot (51 \cdot M_1)}{(4 \cdot R_1)^2} = m \cdot a\]

Скасуємо масу m:

\[G \cdot \frac{51 \cdot M_1}{16 \cdot R_1^2} = a\]

Тепер ми можемо обчислити прискорення вільного падіння на цій планеті, використовуючи дані про Землю (\(M_1\) та \(R_1\)) та відомі константи:

\[a = G \cdot \frac{51 \cdot M_1}{16 \cdot R_1^2}\]

Підставимо значення гравітаційної константи \(G\) (\(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)):

\[a = 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 \cdot \frac{51 \cdot M_1}{16 \cdot R_1^2}\]

Отже, прискорення вільного падіння на планеті зі збільшеним радіусом у чотири рази порівняно з радіусом Землі та масою, що перевищує масу Землі в 51 раз, буде рівним \(a = 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 \cdot \frac{51 \cdot M_1}{16 \cdot R_1^2}\).

Тепер ти маєш всі необхідні формули та вирази, щоб обчислити дане прискорення вільного падіння. Для цього введи значення маси та радіуса Землі у формулу і розрахуй результат. Не забудь перевести одиниці, якщо це потрібно.