Яке рівняння кола, симетричного колу (х - 1)2 + (у + 5)2 = 5, відносно точки м(-3; 7)? Як довести, що два кола

Muravey

37

Щоб з"ясувати, яке рівняння кола є симетричним відносно точки $М(-3;7)$, ми спочатку замінимо $x$ на $-x$ і $y$ на $-y$ у вихідному рівнянні кола.

Отже, щоб знайти симетричне відносно точки $М(-3;7)$ рівняння кола, перепишемо вихідне рівняння замінюючи $x$ на $-x$ та $y$ на $-y$:

$(-x-1{)}^2+(-y+5{)}^2=5$

Спростимо це рівняння:

$x^2+2x+1+y^2-10y+25=5$

$x^2+y^2+2x-10y+21=5$

$x^2+y^2+2x-10y+16=0$

Таким чином, рівняння кола $x^2+y^2+2x-10y+16=0$ є симетричним відносно точки $М(-3;7)$.

Тепер перейдемо до доведення, що два кола з центрами ${О}_1$ і ${О}_2$, які дотикаються в точці $О$, є симетричними відносно цієї точки. Для цього ми будемо використовувати відрізок $АВ$ як пряму, яка ділиться точкою $О$ навпіл.

Давайте побудуємо таку ситуацію:

$$\begin{array}{rl}{O}_1& =(x_1,y_1)\\ O_2& =(x_2,y_2)\\ O& =(x,y)\\ A& =(x_1+x_2,y_1+y_2)\\ B& =(2x-(x_1+x_2),2y-(y_1+y_2))\end{array}$$

Помічаємо, що точка $B$ може бути отримана шляхом відображення точки $A$ відносно точки $O$. Розглянемо відрізок $ВО$:

$$\begin{array}{rl}OB& =((2x-(x_1+x_2))-x,(2y-(y_1+y_2))-y)\\ & =(2x-x_1-x_2-x,2y-y_1-y_2-y)\\ & =(x-x_1-x_2,y-y_1-y_2)\end{array}$$

Помічаємо, що вектори $\overrightarrow{OA}$ і $\overrightarrow{OB}$ є протилежними, а отже, точка $B$ є симетричною відносно точки $O$ відображенням точки $A$.

Таким чином, коло з центром $O_1$ і коло з центром $O_2$, які дотикаються в точці $O$, є симетричними відносно цієї точки $O$.