Яке рівняння кола, симетричного колу (х - 1)2 + (у + 5)2 = 5, відносно точки м(-3; 7)? Як довести, що два кола

Muravey

37

Щоб з"ясувати, яке рівняння кола є симетричним відносно точки \(М(-3; 7)\), ми спочатку замінимо \(x\) на \(-x\) і \(y\) на \(-y\) у вихідному рівнянні кола.

Отже, щоб знайти симетричне відносно точки \(М(-3; 7)\) рівняння кола, перепишемо вихідне рівняння замінюючи \(x\) на \(-x\) та \(y\) на \(-y\):

\((-x - 1)^2 + (-y + 5)^2 = 5\)

Спростимо це рівняння:

\(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 10y + 25 = 5\)

\(x^2 + y^2 + 2x - 10y + 21 = 5\)

\(x^2 + y^2 + 2x - 10y + 16 = 0\)

Таким чином, рівняння кола \(x^2 + y^2 + 2x - 10y + 16 = 0\) є симетричним відносно точки \(М(-3; 7)\).

Тепер перейдемо до доведення, що два кола з центрами \(О_1\) і \(О_2\), які дотикаються в точці \(О\), є симетричними відносно цієї точки. Для цього ми будемо використовувати відрізок \(АВ\) як пряму, яка ділиться точкою \(О\) навпіл.

Давайте побудуємо таку ситуацію:

\[
\begin{align*}
O_1 &= (x_1, y_1)\\
O_2 &= (x_2, y_2)\\
O &= (x, y)\\
A &= (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\\
B &= (2x - (x_1 + x_2), 2y - (y_1 + y_2))
\end{align*}
\]

Помічаємо, що точка \(B\) може бути отримана шляхом відображення точки \(A\) відносно точки \(O\). Розглянемо відрізок \(ВО\):

\[
\begin{align*}
OB &= ((2x - (x_1 + x_2)) - x, (2y - (y_1 + y_2)) - y)\\
&= (2x - x_1 - x_2 - x, 2y - y_1 - y_2 - y)\\
&= (x - x_1 - x_2, y - y_1 - y_2)
\end{align*}
\]

Помічаємо, що вектори \(\overrightarrow{OA}\) і \(\overrightarrow{OB}\) є протилежними, а отже, точка \(B\) є симетричною відносно точки \(O\) відображенням точки \(A\).

Таким чином, коло з центром \(O_1\) і коло з центром \(O_2\), які дотикаються в точці \(O\), є симетричними відносно цієї точки \(O\).