Які довжини бокових сторін трикутника, якщо сторона АВ має кут 30° з основою АС і висота з вершини В ділить основу

Солнце_В_Городе

3

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему синусов. Давайте рассмотрим треугольник АВС.

Мы знаем, что сторона АВ образует угол 30° с основой АС и что точка К является основанием перпендикуляра, опущенного из вершины В на основу АС. Вопрос состоит в том, какие длины имеют боковые стороны треугольника.

Мы знаем, что длина АК равна 12 см. Для начала, нам нужно найти длину стороны ВК. Мы можем использовать основание треугольника, которое делится перпендикуляром на отрезки АК и КС. Поскольку ВК является гипотенузой прямоугольного треугольника ВКС, то мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ВК^2 = АК^2 + КС^2\]
\[ВК^2 = 12^2 + КС^2\]
\[ВК^2 = 144 + КС^2\]

Теперь мы должны найти длину стороны КС. Мы знаем, что сторона АВ образует угол 30° с основой АС, поэтому другая сторона треугольника АВС, сторона АС, образует угол 60° с основой. Это позволяет нам применить теорему синусов:

\[\frac{КС}{АС} = \frac{\sin(60°)}{\sin(30°)}\]

Мы знаем, что сторона АС равна \[АК + КС = 12 + КС\], поэтому мы можем переписать это уравнение:

\[\frac{КС}{12 + КС} = \frac{\sin(60°)}{\sin(30°)}\]

Теперь мы можем решить это уравнение для КС. Умножим обе части уравнения на \((12 + КС)\):

\[КС = (12 + КС) \cdot \frac{\sin(60°)}{\sin(30°)}\]
\[КС = \frac{\sin(60°)}{\sin(30°)} \cdot 12 + КС \cdot \frac{\sin(60°)}{\sin(30°)}\]

Теперь вычтем КС из обеих частей уравнения:

\[КС - КС \cdot \frac{\sin(60°)}{\sin(30°)} = \frac{\sin(60°)}{\sin(30°)} \cdot 12\]
\[КС \cdot \left(1 - \frac{\sin(60°)}{\sin(30°)}\right) = \frac{\sin(60°)}{\sin(30°)} \cdot 12\]

Используем тригонометрические соотношения \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\):

\[КС \cdot \left(1 - \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} \cdot 12\]
\[КС \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\right) = \sqrt{3} \cdot 12\]

Упростим выражение:

\[КС \cdot \left(1 - \sqrt{3}\right) = \sqrt{3} \cdot 12\]
\[КС = \frac{\sqrt{3} \cdot 12}{1 - \sqrt{3}}\]

Теперь у нас есть значения КС и ВК. Мы можем найти длину стороны ВС, используя теорему Пифагора:

\[ВС^2 = ВК^2 + КС^2\]
\[ВС^2 = ВК^2 + \left(\frac{\sqrt{3} \cdot 12}{1 - \sqrt{3}}\right)^2\]

Как только мы найдем значение ВС, мы сможем записать конечный ответ с указанием длин всех трех сторон треугольника АВС. Давайте вычислим значения для ВК, КС и ВС.