Які довжини сторін трикутника abc, якщо відомо: ac = 28 см, кут b = 120° і сума ab

Basya

8

Для решения данной задачи мы будем использовать законы синусов и косинусов. Давайте разберемся пошагово.

1. Нам дано значение длины стороны ac, равное 28 см. Обозначим это значение как c.

2. Нам также дано значение угла b, равное 120°. Обозначим это значение как B.

3. Чтобы найти значения сторон ab и bc, мы должны использовать закон синусов:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\]

Где a - длина стороны ab, A - угол при стороне ab, c - длина стороны ac, C - угол при стороне ac.

Поскольку нам известны только значения угла B и длины стороны ac, мы должны найти значение угла A:
A = 180° - B - C
C = 180° - A - B

4. Давайте найдем значение угла C:
C = 180° - A - B
C = 180° - (180° - B - C) - B
C = 2B - C
2C = 2B
C = B

Итак, значение угла C равно 120°.

5. Теперь мы можем использовать закон синусов, чтобы найти значение стороны ab:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\]
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{28}{\sin 120°}\]
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{28}{\sqrt{3}/2}\]
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{56}{\sqrt{3}}\]
\[a = \frac{56 \cdot \sin A}{\sqrt{3}}\]

6. Так как нам нужно найти длину стороны ab, давайте найдем значение угла A:
A = 180° - B - C
A = 180° - 120° - 120°
A = 180° - 240°
A = -60°

Угол A равен -60°, но так как мы не можем иметь отрицательные значения углов в треугольнике, мы считаем, что угол A равен 60°.

7. Теперь мы можем вычислить значение стороны ab:
\[a = \frac{56 \cdot \sin A}{\sqrt{3}}\]
\[a = \frac{56 \cdot \sin 60°}{\sqrt{3}}\]
\[a = \frac{56 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}\]
\[a = \frac{56}{2}\]
\[a = 28\]

Значение стороны ab равно 28 см.

8. Чтобы найти значение стороны bc, мы можем использовать закон косинусов:
\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B\]

Подставляем значения, которые мы уже знаем:
\[b^2 = 28^2 + 28^2 - 2 \cdot 28 \cdot 28 \cdot \cos 120°\]

9. Теперь давайте вычислим значение стороны bc:
\[b^2 = 28^2(1 + 1 - \cos 120°)\]
\[b^2 = 28^2(2 - \cos 120°)\]
\[b^2 = 784(2 - \cos 120°)\]
\[b^2 = 784(2 + 0.5)\]
\[b^2 = 2352\]

Для максимально подробного ответа, мы можем найти значение стороны bc:
\[b = \sqrt{2352}\]
\[b \approx 48.50 \,(\text{округляем до второго знака после запятой})\]

Значение стороны bc составляет около 48,50 см.

Итак, результаты:
Страница ab в треугольнике abc равна 28 см.
Сторона bc в треугольнике abc равна около 48,50 см.