Які кути трикутника АВС, якщо координати його вершин А ( -2; 1 ), В ( 1; 5 ), С ( 5

Zvezdnyy_Admiral

61

Чтобы найти углы треугольника ABC, можно воспользоваться свойством скалярного произведения векторов. Для этого нужно найти два вектора, имеющих общую точку начала и образованных двумя сторонами треугольника. Затем вычислить скалярное произведение этих векторов и воспользоваться его свойством:

Для начала, найдем векторы AB и AC. Вектор AB можно найти, вычтя из координат точки B координаты точки A:

\(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 - (-2) \\ 5 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Аналогично, вектор AC можно найти, вычтя из координат точки C координаты точки A:

\(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 5 - (-2) \\ 5 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Теперь, чтобы найти угол между векторами, используем формулу для скалярного произведения двух векторов:

\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\theta)\)

Где \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{AC}|\) - длины векторов AB и AC соответственно, а \(\theta\) - искомый угол.

Длина вектора AB будет:

\(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Длина вектора AC будет:

\(|\vec{AC}| = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}\)

Теперь подставим полученные значения в формулу для скалярного произведения:

\(3 \cdot 7 + 4 \cdot 4 = 5 \cdot \sqrt{65} \cdot \cos(\theta)\)

\(21 + 16 = 5\sqrt{65}\cos(\theta)\)

\(37 = 5\sqrt{65}\cos(\theta)\)

Теперь, чтобы найти угол \(\theta\), разделим обе части уравнения на \(5\sqrt{65}\):

\(\cos(\theta) = \frac{37}{5\sqrt{65}}\)

Теперь найдем значение угла \(\theta\) с помощью функции обратного косинуса:

\(\theta = \arccos\left(\frac{37}{5\sqrt{65}}\right)\)

Вычислением этого значения можно воспользоваться калькулятором или компьютером с поддержкой тригонометрических функций.

В результате получим значение угла \(\theta\). Аналогичным образом можно вычислить остальные два угла треугольника ABC, используя другие соотношения.