Які радіуси цих кіл, якщо їх центри дотикаються і відстань між ними становить 16 см, а їх відношення - 5:3? Розгляньте
Які радіуси цих кіл, якщо їх центри дотикаються і відстань між ними становить 16 см, а їх відношення - 5:3? Розгляньте всі можливі варіанти.
Сумасшедший_Рыцарь 18
Давайте розглянемо цю задачу про дотичні кола.Зауважимо, що коли кільця дотикаються, відстань між їх центрами дорівнює сумі радіусів кіл. Таким чином, ми можемо сформулювати перше рівняння на основі вимоги, що відстань між центрами становить 16 см:
\[ r_1 + r_2 = 16 \]
Далі дано, що відношення радіусів цих кіл становить 5:3. Ми можемо записати друге рівняння, використовуючи це відношення, яке можна представити у вигляді:
\[ \frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{3} \]
Тепер, ми маємо систему з двох рівнянь з двома невідомими, \(r_1\) та \(r_2\). Давайте розв"яжемо цю систему.
Спочатку домножимо обидві частини другого рівняння на 3, щоб позбутися від знаменника:
\[ 3r_1 = 5r_2 \]
Тепер ми можемо використати це нове рівняння для заміни \(r_1\) в першому рівнянні:
\[ 5r_2 + r_2 = 16 \]
Об"єднуючи подібні члени, отримуємо:
\[ 6r_2 = 16 \]
Тепер розділимо обидві частини на 6, щоб знайти значення \(r_2\):
\[ r_2 = \frac{16}{6} \]
Спростивши, отримуємо:
\[ r_2 = \frac{8}{3} \]
Тепер, коли у нас є значення \(r_2\), ми можемо використати його, щоб знайти значення \(r_1\). Підставивши в \(r_1 + r_2 = 16\), отримаємо:
\[ r_1 + \frac{8}{3} = 16 \]
Щоб отримати значення \(r_1\), віднімемо \(\frac{8}{3}\) з обох сторін:
\[ r_1 = 16 - \frac{8}{3} \]
Складаємо дробовий чисельник з паралельних дробів:
\[ r_1 = \frac{48}{3} - \frac{8}{3} \]
Виконуємо віднімання:
\[ r_1 = \frac{40}{3} \]
Таким чином, ми отримали значення для \(r_1\) та \(r_2\):
\[ r_1 = \frac{40}{3} \text{ см} \]
\[ r_2 = \frac{8}{3} \text{ см} \]
Отже, радіус першого кола \(r_1\) становить \(\frac{40}{3}\) см, а радіус другого кола \(r_2\) становить \(\frac{8}{3}\) см.