Покажите, что полупрямые АВ и А1В1 имеют противоположные направления

Peschanaya_Zmeya

9

Чтобы доказать, что полупрямые \(AB\) и \(A1B1\) имеют противоположные направления, нам нужно рассмотреть определение противоположного направления в геометрии.

Полупрямая - это часть прямой, которая имеет один начальный точку и простирается в одном направлении. Полупрямые \(AB\) и \(A1B1\) имеют общую начальную точку \(A\), но направлены в разные стороны. Чтобы показать, что они имеют противоположные направления, мы можем использовать геометрическое свойство углов.

1. Начнем с полупрямой \(AB\). Пусть \(M\) - произвольная точка на полупрямой \(AB\), отличная от точки \(A\). Тогда отрезок \(AM\) является направленным отрезком, и служит "стрелкой" для определения направления.

2. Рассмотрим полупрямую \(A1B1\). Пусть \(N\) - произвольная точка на полупрямой \(A1B1\), отличная от точки \(A1\). Тогда отрезок \(A1N\) также является направленным отрезком, и также служит "стрелкой" для определения направления.

3. Для того чтобы показать, что полупрямые \(AB\) и \(A1B1\) имеют противоположные направления, нам нужно показать, что существует угол между направленными отрезками \(AM\) и \(A1N\) равный 180 градусам.

4. Окружим точку \(A\) центром окружности и проведем радиус \(AO\) (см. рисунок). Отрезки \(AO\) и \(A1O\) представляют собой радиусы одной и той же окружности и имеют одинаковую длину, так как радиусы одной и той же окружности равны.

\[
\includegraphics[scale=0.5]{opposite_directions_proof}
\]

5. Теперь рассмотрим треугольник \(AOC\) и треугольник \(A1OC\). У них совпадают сторона \(AO\) и некоторые углы (\(\angle AOC = \angle A1OC = 90^\circ\)), а дополнительные стороны \(OC\) и \(OC\) имеют одинаковую длину. Поэтому треугольники \(AOC\) и \(A1OC\) равны (по теореме об острых углах).

6. Значит, угол \(\angle AON\) равен углу \(\angle A1ON\). Угол \(\angle AON\) равен \(180^\circ\) (по построению), поэтому угол \(\angle A1ON\) также равен \(180^\circ\). Это означает, что направленные отрезки \(AM\) и \(A1N\) образуют угол в \(180^\circ\) и имеют противоположные направления.

Таким образом, мы доказали, что полупрямые \(AB\) и \(A1B1\) имеют противоположные направления.