Які радіуси утворилися після переплавлення свинцевої кулі радіусом 1 дм у 64 кульки однакового розміру?

Забытый_Замок_8048

64

Щоб розв"язати дану задачу, спочатку розглянемо, які відношення існують між об"ємами куль та їх радіусами. Об"єм кулі можна обчислити за формулою \[V = \frac{4}{3} \pi r^3\], де \(V\) - об"єм, а \(r\) - радіус кулі.

Тепер, коли ми маємо кулю радіусом 1 дм, обчислимо її об"єм. Підставляємо значення радіусу в формулу:

\[V_1 = \frac{4}{3} \pi \cdot (1)^3 = \frac{4}{3} \pi\]

Таким чином, вихідний об"єм кулі становить \(\frac{4}{3} \pi\).

Тепер давайте знайдемо радіус однієї з отриманих 64 кульок. Для цього скористаємося тим фактом, що об"єми двох куль відносяться як куби їх радіусів. Тобто, якщо ми маємо одну кулю з радіусом \(r_1\) та другу кулю з радіусом \(r_2\), то \( \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3\).

Застосуємо цей принцип до нашої задачі. Оскільки всі 64 кульки мають однаковий розмір, позначимо їх радіус як \(r_2\). Відношення об"ємів куль і радіусів буде:

\[ \frac{\frac{4}{3} \pi}{V_2} = \left(\frac{1}{r_2}\right)^3\]

Тепер можемо обчислити радіус \(r_2\). Для цього множимо обидві частини рівняння на \(V_2\) та робимо необхідні перетворення:

\[\frac{4}{3} \pi = \left(\frac{1}{r_2}\right)^3 \cdot V_2\]
\[\left(\frac{1}{r_2}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot V_2\]
\[1 = \left(\frac{4}{3} \pi \cdot V_2\right)^{\frac{1}{3}} \cdot r_2\]

Наостанок, виражаємо \(r_2\):

\[r_2 = \frac{1}{\left(\frac{4}{3} \pi \cdot V_2\right)^{\frac{1}{3}} }\]

Таким чином, радіус \(r_2\) становить \(\frac{1}{\left(\frac{4}{3} \pi \cdot V_2\right)^{\frac{1}{3}} }\).

Це є повний розв"язок задачі. Для конкретних числових значень необхідно обчислити \(V_2\) та підставити його у формулу для \(r_2\), щоб отримати значення радіуса.