Які значення b природних чисел зроблять (4b +1)/17 правильним дробом?

Vechnyy_Son

1

Для того чтобы выражение \(\frac{{4b + 1}}{{17}}\) было правильной дробью, нам необходимо, чтобы числитель был меньше знаменателя и они не имели общих делителей, кроме единицы.

Итак, посмотрим на условие: \(4b + 1 < 17\). Решим это неравенство:

\[
\begin{align*}
4b + 1 &< 17 \\
4b &< 16 \\
b &< 4
\end{align*}
\]

Таким образом, значение переменной \(b\) должно быть меньше 4.

Далее, чтобы числитель и знаменатель не имели общих делителей, кроме единицы, нужно проверить их взаимную простоту.

Для этого можно воспользоваться алгоритмом нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. В нашем случае нам нужно проверить, что НОД числителя \(4b + 1\) и знаменателя 17 равен 1.

Так как 17 - простое число, то наибольший общий делитель с числителем \((4b + 1)\) не может быть равен 17.

Исключим из возможных значений \(b\), все такие, при которых \(4b + 1\) имеет делители, кроме 1.

Теперь посмотрим на все натуральные числа \(b\), меньшие 4, и найдем значения \(4b + 1\):

Для \(b = 1\): \(4b + 1 = 4 \cdot 1 + 1 = 5\)
Для \(b = 2\): \(4b + 1 = 4 \cdot 2 + 1 = 9\)
Для \(b = 3\): \(4b + 1 = 4 \cdot 3 + 1 = 13\)

Итак, при значениях \(b = 1\), \(b = 2\), \(b = 3\), выражение \(\frac{{4b + 1}}{{17}}\) является правильной дробью.

Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.