Які значення похідної функції у = 1 - х² можна знайти у точці х0=1?

Pechenka

31

Хорошо, чтобы найти значение производной функции \(y = 1 - x^2\) в точке \(x_0 = 1\), мы можем воспользоваться определением производной. Определение производной гласит, что производная функции в точке - это предел отношения изменения значения функции к изменению ее аргумента при стремлении этого изменения к нулю.

Таким образом, мы можем решить эту задачу, пошагово применяя это определение. Давайте начнем:

Шаг 1: Найдем значение функции в точке \(x_0 = 1\)
Подставим \(x_0\) в исходную функцию, получим:
\(y = 1 - x^2\)
\(y_0 = 1 - (1)^2 = 1 - 1 = 0\)

Таким образом, значение функции в точке \(x_0 = 1\) равно 0.

Шаг 2: Найдем предел, используя определение производной
Рассмотрим изменение значения функции и изменение аргумента функции при стремлении изменения аргумента к нулю. Здесь наш аргумент - это \(x\), а функция - это \(y\).

Изменение аргумента: \(\Delta x = x - x_0\)
Изменение значения функции: \(\Delta y = y - y_0\)

Мы ищем предел, когда \(\Delta x\) стремится к 0.
\(\lim_{{\Delta x \to 0}}\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Шаг 3: Найдем изменение значения функции
\(\Delta y = y - y_0\)

Мы уже вычислили, что \(y_0 = 0\), поэтому:
\(\Delta y = y - 0 = y\)

Шаг 4: Найдем изменение аргумента
\(\Delta x = x - x_0\)

Так как \(x_0 = 1\), то:
\(\Delta x = x - 1\)

Шаг 5: Найдем предел
Теперь мы можем найти предел, используя полученные значения:
\(\lim_{{\Delta x \to 0}}\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \lim_{{\Delta x \to 0}}{\frac{{y}}{{\Delta x}}}\)

Подставим значения изменений:
\(\lim_{{\Delta x \to 0}}{\frac{{y}}{{\Delta x}}} = \lim_{{\Delta x \to 0}}{\frac{{y}}{{x - 1}}}\)

Шаг 6: Найдем значение производной
Теперь мы можем вычислить значение производной, подставив \(x = 1\) в предел:
\(\lim_{{\Delta x \to 0}}{\frac{{y}}{{x - 1}}} = \lim_{{\Delta x \to 0}}{\frac{{1 - x^2}}{{x - 1}}}\)

Подставим \(x = 1\):
\(\lim_{{\Delta x \to 0}}{\frac{{1 - (1)^2}}{{1 - 1}}}\)

Упростим выражение:
\(\lim_{{\Delta x \to 0}}{\frac{{0}}{{0}}}\)

Заметим, что у нас получается неопределенность типа "ноль делим на ноль". Это означает, что в данном случае предел не существует.

Таким образом, значение производной функции \(y = 1 - x^2\) в точке \(x_0 = 1\) не существует.