Яким буде об єм піраміди МАВС, якщо об єм прямої трикутної призми ABCA1B1C1 дорівнює 48 см і точка М є серединою ребра

Elisey

46

Хорошо, давайте решим данную задачу.

В сначале нам нужно найти высоту призмы. Объем прямоугольной призмы можно вычислить по формуле:

\[V_{\text{призмы}} = S_{\text{основы}} \times h,\]

где \(V_{\text{призмы}}\) - объем призмы, \(S_{\text{основы}}\) - площадь основы, \(h\) - высота призмы.

Так как призма является прямоугольной триугольной призмой, площадь основы можно найти, используя формулу:

\[S_{\text{основы}} = \frac{1}{2} \times AB \times AC,\]

где \(AB\) и \(AC\) - длины ребер.

По условию, объем призмы равен 48 см³:

\[48 = S_{\text{основы}} \times h.\]

Теперь найдем площадь основы:

\[S_{\text{основы}} = \frac{1}{2} \times AB \times AC.\]

Заметим, что треугольник ABC является прямоугольным и точка M является серединой ребра СС1, таким образом, AM является медианой треугольника. Из свойств медианы известно, что она делит сторону пополам. Поэтому длина AM равна половине длины CC1:

\[AM = \frac{1}{2} \times CC1.\]

Так как точка M является серединой ребра СС1, ребра СС1 равны между собой:

\[CC1 = AC.\]

Таким образом, имеем:

\[AM = \frac{1}{2} \times AC.\]

Теперь мы можем найти площадь основы призмы:

\[S_{\text{основы}} = \frac{1}{2} \times AB \times AM.\]

Подставляя значение \(S_{\text{основы}}\) и объема \(V_{\text{призмы}}\) в первое уравнение, получаем:

\[48 = S_{\text{основы}} \times h = \frac{1}{2} \times AB \times AM \times h.\]

Теперь у нас есть уравнение с двумя неизвестными: \(h\) и \(AM\). Однако мы знаем, что AM равно половине длины ребра CC1, которое равно длине ребра AC. Поэтому можем записать:

\[AM = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ см}.\]

Подставляя это значение в уравнение, мы получаем:

\[48 = \frac{1}{2} \times AB \times 6 \times h.\]

Теперь можем выразить \(h\):

\[h = \frac{48}{\frac{1}{2} \times AB \times 6} = \frac{48}{AB \times 3}.\]

Окей, теперь мы можем перейти к вычислению объема пирамиды. Объем пирамиды можно вычислить по формуле:

\[V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \times S_{\text{основы}} \times h,\]

где \(V_{\text{пирамиды}}\) - объем пирамиды, \(S_{\text{основы}}\) - площадь основы, \(h\) - высота пирамиды.

Подставив значения, получаем:

\[V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times AB \times 6 \times \frac{48}{AB \times 3}.\]

Упрощаем выражение:

\[V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \times 8 \times 48 = \frac{8}{3} \times 48.\]

Получаем окончательный ответ:

\[V_{\text{пирамиды}} = \frac{8}{3} \times 48 = 128 \text{ см³}.\]