Выразите векторы ak, ae и ke через векторы a и b в параллелограмме abcd, где точки k и e находятся на сторонах bc

Эльф

55

Чтобы выразить векторы \(ak\), \(ae\) и \(ke\) через векторы \(a\) и \(b\) в параллелограмме \(abcd\), где точки \(k\) и \(e\) расположены на сторонах \(bc\) и \(cd\) соответственно так, что \(bk=kc\) и \(\frac{ce}{ed}=\frac{2}{3}\), воспользуемся свойством параллелограмма, что противоположные стороны равны по модулю и направлены в противоположные стороны.

Сначала найдем вектор \(ad\). Так как \(\overrightarrow{ad} = \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bc} + \overrightarrow{cd}\), а сторона \(cd = -b\) (так как векторы \(\overrightarrow{cd}\) и \(-b\) коллинеарны и сонаправлены), получим:
\[\overrightarrow{ad} = \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bc} - \overrightarrow{b}.\]

Затем найдем вектор \(ak\). Так как \(\overrightarrow{ak} = \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bk}\), а сторона \(bk = \frac{1}{2}\overrightarrow{bc}\) (так как \(bk=kc\) и векторы \(\overrightarrow{bk}\) и \(\frac{1}{2}\overrightarrow{bc}\) коллинеарны и сонаправлены), получим:
\[\overrightarrow{ak} = \overrightarrow{ab} + \frac{1}{2}\overrightarrow{bc}.\]

Аналогично найдем вектор \(ae\). Так как \(\overrightarrow{ae} = \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{be}\), а сторона \(be = \frac{3}{5}\overrightarrow{bc}\) (так как \(\frac{ce}{ed}=\frac{2}{3}\) и векторы \(\overrightarrow{be}\) и \(\frac{3}{5}\overrightarrow{bc}\) коллинеарны и сонаправлены), получим:
\[\overrightarrow{ae} = \overrightarrow{ab} + \frac{3}{5}\overrightarrow{bc}.\]

Наконец, вектор \(ke\) можно выразить как разность векторов \(ad\) и \(ae\), так как точка \(d\) является общей для обоих векторов:
\[\overrightarrow{ke} = \overrightarrow{ad} - \overrightarrow{ae}.\]

Теперь мы можем записать окончательные выражения для векторов \(ak\), \(ae\) и \(ke\) через векторы \(a\) и \(b\):

\[\overrightarrow{ak} = \overrightarrow{ab} + \frac{1}{2}\overrightarrow{bc},\]
\[\overrightarrow{ae} = \overrightarrow{ab} + \frac{3}{5}\overrightarrow{bc},\]
\[\overrightarrow{ke} = \overrightarrow{ad} - \overrightarrow{ae}.\]

Эти выражения позволяют выразить векторы \(ak\), \(ae\) и \(ke\) через векторы \(a\) и \(b\) в параллелограмме \(abcd\) с указанными условиями.