Яким буде периметр квадрата, якому належить коло з описаною навколо нього довжиною 24√2?

Mandarin

67

Для начала, нам нужно определить, какая связь существует между периметром квадрата и диаметром окружности, описанной вокруг него. Давайте разберемся с этим.

Периметр квадрата - это сумма длин всех его сторон. Давайте обозначим сторону квадрата как \(a\). Тогда периметр квадрата можно выразить формулой:

\[P = 4a\]

Также, мы знаем, что диаметр окружности - это расстояние между двумя противоположными точками на окружности, и оно равно удвоенной радиусу окружности. То есть:

\[d = 2r\]

Однако, у нас дана длина окружности, а не диаметр, поэтому мы должны найти радиус.

Формула для вычисления длины окружности имеет вид:

\[C = 2\pi r\]

Здесь \(C\) - это длина окружности, а \(\pi\) - математическая константа, примерное значение которой равно 3.14.

Теперь, зная длину окружности \(C\), мы можем выразить радиус \(r\) следующим образом:

\[r = \frac{C}{2\pi}\]

Подставим значение длины окружности в формулу:

\[r = \frac{24\sqrt{2}}{2\pi}\]

Теперь у нас есть значение радиуса. Чтобы найти сторону квадрата, давайте воспользуемся теоремой Пифагора.

В прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, длина гипотенузы (диагонали квадрата) равна удвоенному радиусу окружности, то есть:

\[c = 2r\]

У нас есть гипотенуза длиной \(c = 2r\), теперь найдем длину одной из катетов. По теореме Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Так как стороны квадрата равны между собой, длина катета будет равна \(a\) и \(b\). Поэтому можно записать:

\[a^2 + a^2 = c^2\]

\[2a^2 = c^2\]

\[a^2 = \frac{c^2}{2}\]

Теперь заменим значение \(c = 2r\):

\[a^2 = \frac{(2r)^2}{2}\]

\[a^2 = \frac{4r^2}{2}\]

\[a^2 = 2r^2\]

Теперь подставим значение радиуса:

\[a^2 = 2\left(\frac{24\sqrt{2}}{2\pi}\right)^2\]

\[a^2 = \frac{2\cdot576\cdot2}{4\pi^2}\]

\[a^2 = \frac{2304}{\pi^2}\]

\[a = \sqrt{\frac{2304}{\pi^2}}\]

Таким образом, сторона квадрата равна:

\[a = \frac{48}{\pi}\]

Теперь, зная сторону квадрата \(a\), мы можем найти его периметр \(P\):

\[P = 4a\]

\[P = 4\cdot\frac{48}{\pi}\]

Ответ:

Периметр квадрата, описанного вокруг окружности длиной 24√2, составляет \(\frac{192}{\pi}\) или приблизительно 61.05.