Яким буде радіус кола, яке описує трикутник ABC, якщо відомо, що довжина сторони AB дорівнює 5 см, а кут C становить

Vechnaya_Zima

45

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой синусов, которая устанавливает соотношение между сторонами треугольника и синусами противоположных углов.

Согласно теореме синусов, отношение длин сторон треугольника к синусам противоположных им углов равно одному и тому же числу. Математически это записывается следующим образом:

\[\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}\]

В нашей задаче нам известны длина стороны AB, которая равна 5 см, и значение угла C, которое составляет 30°. Нам нужно найти радиус описанной окружности.

Сначала найдем значение угла A. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, значит угол A равен:

\[\angle A = 180° - \angle B - \angle C\]
\[\angle A = 180° - 90° - 30°\]
\[\angle A = 60°\]

Теперь можем применить теорему синусов:

\[\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{5}{\sin(30°)} = \frac{BC}{\sin(60°)}\]

Сократим:

\[\frac{5}{\frac{1}{2}} = \frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Упростим:

\[10 = \frac{2BC}{\sqrt{3}}\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2BC\]

\[\frac{10\sqrt{3}}{2} = 2BC\]

Упростим:

\[5\sqrt{3} = BC\]

Таким образом, длина стороны BC составляет \(5\sqrt{3}\) см.

Известно, что для описанного окружности радиус равен половине длины стороны, поэтому радиус R будет:

\[R = \frac{BC}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\]

Ответ: радиус описанной окружности, описывающей треугольник ABC, равен \(\frac{5\sqrt{3}}{2}\) см.