Какова длина EH, если известно, что FDC и REM равны, а длина DT равна 7 см, и DT и EH являются биссектрисами этих

Мурчик

24

Нам дан треугольник FDC, в котором DT является биссектрисой, и треугольник REM, в котором EH является биссектрисой. Нам также известно, что FDC и REM равны, и DT имеет длину 7 см. Мы хотим найти длину EH.

Для начала, давайте определим, что означает "биссектриса". Биссектриса треугольника делит противолежащий угол на два равных угла. Это означает, что угол FDT равен углу EDT, и угол REM равен углу REH.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой синусов, чтобы найти длину EH. В треугольнике FDT мы имеем:

$$\frac{DT}{\sin (\mathrm{\angle }FDT)}=\frac{FT}{\sin (\mathrm{\angle }DFT)}$$

Поскольку DT и FT являются биссектрисами, угол FDT и угол DFT являются половиной углов FDC и FCT соответственно. Так как FDC и REM равны, угол FDC равен углу FCT. Из этого следует, что угол FDT также равен углу FHC.

Теперь мы можем переписать уравнение, используя известную информацию:

$$\frac{7}{\sin (\mathrm{\angle }FHC)}=\frac{FT}{\sin (\mathrm{\angle }FHC)}$$

Заметим, что треугольник FHC имеет пару равных углов FHC и EHR, так как EH является биссектрисой. Поэтому мы можем переписать уравнение как:

$$\frac{7}{\sin (\mathrm{\angle }EHR)}=\frac{FT}{\sin (\mathrm{\angle }EHR)}$$

Мы видим, что $\mathrm{\angle }EHR$ присутствует и в числителе, и в знаменателе. Мы можем сократить их и получить:

$$7=FT$$

Итак, мы нашли, что FT равно 7 см. Но нам нужно найти длину EH, поэтому нам нужно найти значение FT, используя другие известные данные.

Поскольку FDC и REM равны, у них также равны пары противолежащих сторон. Это означает, что DС равно EM. Мы также знаем, что DT равно 7 см. Поэтому EM также равно 7 см.

Теперь давайте рассмотрим треугольник EHM. У нас есть две равные стороны, EH и EM, и угол EHM, который является половиной угла RDM (так как EH является биссектрисой). Так как сторона DM неизвестна, мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти длину EH.

$$\frac{EM}{\sin (\mathrm{\angle }RDM)}=\frac{EH}{\sin (\mathrm{\angle }EDM)}$$

Мы знаем, что EM равно 7 см и что угол RDM равен углу EDM (половина угла REM). Давайте заменим эти значения:

$$\frac{7}{\sin (\mathrm{\angle }EDM)}=\frac{EH}{\sin (\mathrm{\angle }EDM)}$$

Из этого уравнения мы получаем:

$$7=EH$$

Таким образом, мы находим, что EH равно 7 см.

Итак, длина EH равна 7 см.