Яким буде значення прискорення вільного падіння на висоті, що становить половину радіуса Землі?

Alekseevich

14

Для решения данной задачи нужно использовать закон всемирного тяготения, который утверждает, что сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Масса Земли (M) постоянна, поэтому ее можно опустить из рассмотрения. Масса тела, падающего на поверхность Земли, также постоянна и также может быть опущена из рассмотрения. Таким образом, нам нужно узнать только, как изменяется сила притяжения с высотой относительно поверхности Земли.

Радиус Земли (R) известен и составляет около 6371 километра. Половина радиуса Земли будет равна \( \frac{R}{2} \).

Расстояние между центром Земли и объектом на высоте h можно выразить как сумму радиуса Земли и высоты: R + h.

Таким образом, расстояние между центром Земли и объектом на половине радиуса Земли будет: \( R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2} \).

Возвращаясь к закону всемирного тяготения, мы можем записать:

\[ F = \frac{G \cdot M \cdot m}{(R + h)^2} \],

где F - сила притяжения, G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, m - масса падающего тела, h - высота над поверхностью Земли.

Поскольку мы сравниваем значение ускорения свободного падения на разных высотах, нам не нужно учитывать массы тел. Поэтому мы можем записать:

\[ F = m \cdot g \],

где F - сила притяжения, m - масса падающего тела, g - ускорение свободного падения.

Таким образом, мы можем записать:

\[ m \cdot g = \frac{G \cdot M \cdot m}{(R + h)^2} \].

Чтобы найти значение ускорения свободного падения (g) на высоте \( \frac{R}{2} \), нам нужно решить уравнение относительно g.

\[ g = \frac{G \cdot M}{(R + h)^2} \].

Подставим \( \frac{3R}{2} \) вместо h:

\[ g = \frac{G \cdot M}{(\frac{5R}{2})^2} \].

Раскрываем квадрат в знаменателе:

\[ g = \frac{G \cdot M}{(\frac{25R^2}{4})} \].

Теперь можно сократить R и выразить g:

\[ g = \frac{4G \cdot M}{25R} \].

Таким образом, значение ускорения свободного падения на высоте, которая составляет половину радиуса Земли, будет равно:

\[ g = \frac{4 \cdot G \cdot M}{25 \cdot R} \].

Однако, пожалуйста, примите во внимание, что данное решение предполагает, что ускорение свободного падения на небольшой высоте не меняется, что является упрощением модели и не учитывает другие факторы, такие как изменение массы Земли или сопротивление воздуха. Данное решение представляет только базовую модель для объяснения связи между ускорением свободного падения и высотой над поверхностью Земли.