What is the magnitude of the change in the ball s momentum projection on the X-axis after it collides with the wall

Марат

37

Чтобы найти изменение проекции импульса мяча на ось X после столкновения с стеной в точке, нам понадобится использовать законы сохранения импульса и энергии.

Первым шагом будем вычислять импульс мяча до столкновения и после столкновения. Обозначим массу мяча как \(m\), начальную скорость как \(v_i\), конечную скорость после столкновения как \(v_f\), и массу мяча как \(m\).

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов до и после столкновения должна быть одинаковой:

\[m \cdot v_i = m \cdot v_f + m_w \cdot v_w\]

где \(m_w\) - масса стены, а \(v_w\) - ее скорость. Поскольку стена неподвижна, \(v_w = 0\), поэтому импульс стены не учитывается, и уравнение примет вид:

\[m \cdot v_i = m \cdot v_f\]

Теперь мы можем выразить изменение скорости мяча после столкновения:

\[v_f = \frac{{m \cdot v_i}}{m}\]

Поскольку нам интересна только проекция этой скорости на ось X, нам нужно учесть угол столкновения мяча с вертикальной осью. Обозначим этот угол как \(\theta\). Тогда проекция скорости до столкновения будет равна \(v_i \cdot \cos(\theta)\), а проекция скорости после столкновения будет равна \(v_f \cdot \cos(\theta)\).

Теперь мы можем найти изменение проекции импульса на ось X, вычитая проекцию до столкновения из проекции после столкновения:

\[\Delta p_x = m \cdot v_f \cdot \cos(\theta) - m \cdot v_i \cdot \cos(\theta)\]

Вынесем массу мяча за скобки:

\[\Delta p_x = m \cdot (\frac{{m \cdot v_i}}{m}) \cdot \cos(\theta) - m \cdot v_i \cdot \cos(\theta)\]

Сокращаем \(m\) в числителе и знаменателе:

\[\Delta p_x = m \cdot v_i \cdot \cos(\theta) - m \cdot v_i \cdot \cos(\theta)\]

Отрицательные члены сокращаются, и мы получаем:

\[\Delta p_x = 0\]

Таким образом, магнитуда изменения проекции импульса мяча на ось X после столкновения с неподвижной стеной в точке равна нулю.

Это означает, что проекция импульса мяча на ось X не изменится после столкновения и останется такой же, как и до столкновения.