Яким чином можна показати, що діагональ основи прямокутного паралелепіпеда перпендикулярна до кожного бічного ребра?

Арсен_149

47

Для того чтобы показать, что диагональ основания прямоугольного параллелепипеда перпендикулярна каждому боковому ребру, мы можем использовать геометрическую и теоретическую информацию о параллелепипеде.

Давайте сначала вспомним основные свойства прямоугольного параллелепипеда. Этот объект имеет три основания, которые являются прямоугольниками, и шесть боковых граней, которые являются прямоугольниками или квадратами. У каждой грани параллелепипеда есть диагональ, которую мы будем рассматривать.

Для начала представьте себе прямоугольник, являющийся одним из оснований параллелепипеда. Рассмотрим его диагональ - это отрезок, соединяющий две противоположные вершины прямоугольника. Пусть эта диагональ обозначается как \(d_1\).

Теперь представьте себе боковое ребро параллелепипеда, которое соединяет две вершины, не принадлежащие основанию, и обозначим его как \(l\).

Мы хотим показать, что \(d_1\) перпендикулярна к каждому \(l\).

Для начала рассмотрим плоскость, содержащуюся в основании параллелепипеда. Так как это прямоугольник, все его углы равны 90 градусам. Также, в этой плоскости прямоугольника, диагональ \(d_1\) будет являться диагональю прямоугольника и, следовательно, будет делить каждый угол прямоугольника на две равные части.

Теперь давайте предположим, что \(d_1\) не является перпендикулярной к боковому ребру \(l\). Это означало бы, что существует угол между \(d_1\) и \(l\), отличный от 90 градусов.

Допустим, мы рассматриваем прямоугольник, образованный плоскостью основания параллелепипеда и боковым ребром \(l\). Если \(d_1\) не перпендикулярна \(l\), то существует как минимум один угол в этом прямоугольнике, отличный от 90 градусов.

Теперь вспомните, что плоскость основания параллелепипеда содержит \(d_1\) и что \(d_1\) делит углы прямоугольника на две равные части. Таким образом, так как есть угол в этом прямоугольнике, отличный от 90 градусов, было бы невозможно разделить его на две равные части.

Это противоречие доказывает, что \(d_1\) должна быть перпендикулярна к каждому боковому ребру параллелепипеда.

Таким образом, мы показали, что диагональ основания прямоугольного параллелепипеда перпендикулярна каждому боковому ребру.