Яким чином можна змінити радіус колової орбіти штучного спутника Землі, щоб зменшити частоту його обертання в 8 разів

Сверкающий_Джентльмен

68

Для решения этой задачи нам понадобится использовать закон всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Также, нам пригодится формула для расчета линейной скорости спутника \(v\), которая равна произведению радиуса орбиты \(r\) и угловой скорости \(\omega\):

\[v = r \cdot \omega\]

Из условия задачи нам нужно изменить радиус орбиты \(\Delta r\) так, чтобы частота обращения спутника \(\Delta n\) уменьшилась в 8 раз, а линейная скорость \(\Delta v\) уменьшилась в 2 раза.

Первым шагом найдем начальную частоту обращения \(n\) спутника. Частота обращения связана с угловой скоростью формулой:

\[n = \frac{\omega}{2\pi}\]

По условию задачи, нам необходимо уменьшить частоту обращения в 8 раз, получаем:

\[\Delta n = \frac{n}{8}\]

Следующим шагом найдем начальную линейную скорость \(v\) спутника, используя формулу:

\[v = r \cdot \omega\]

Теперь, по условию задачи, нам нужно уменьшить линейную скорость в 2 раза, получаем:

\[\Delta v = \frac{v}{2}\]

Последним шагом будем использовать закон всемирного тяготения, чтобы связать начальный радиус орбиты \(r\) с измененным радиусом орбиты \(\Delta r\). Формула для силы притяжения между Землей и спутником имеет вид:

\[F = \frac{G \cdot m_{\text{З}} \cdot m_{\text{С}}}{r^2}\]

где \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_{\text{З}}\) - масса Земли, \(m_{\text{С}}\) - масса спутника, \(r\) - радиус орбиты.

Если мы изменим радиус орбиты в \(\Delta r\) раз, то сила притяжения изменится следующим образом:

\[\Delta F = \frac{G \cdot m_{\text{З}} \cdot m_{\text{С}}}{(r + \Delta r)^2}\]

Также, по закону сохранения механической энергии, кинетическая энергия спутника до изменения орбиты равна его кинетической энергии после изменения орбиты:

\[\frac{1}{2} \cdot m_{\text{С}} \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot m_{\text{С}} \cdot (v - \Delta v)^2\]

Решая это уравнение, мы можем найти связь между \(\Delta v\) и \(\Delta r\). В конечном итоге, нам нужно уменьшить линейную скорость в 2 раза, поэтому:

\[\Delta v = v - \frac{v}{2} = \frac{v}{2}\]

Теперь, заменяем \(v\) с помощью формулы \(v = r \cdot \omega\):

\[\frac{r \cdot \omega}{2} = \frac{1}{2} \cdot m_{\text{С}} \cdot (r \cdot \omega - \Delta r \cdot \omega)^2\]

Решая это уравнение, найдем связь между \(\Delta r\) и \(\Delta \omega\).

Итак, подводя итог, мы используем закон всемирного тяготения для связи между \(r\) и \(\Delta r\), закон сохранения механической энергии для связи между \(\Delta v\) и \(\Delta r\), и формулу \(v = r \cdot \omega\) для выражения \(v\) через \(r\) и \(\omega\) для нахождения связи между \(\Delta r\) и \(\Delta \omega\).

Объединяя все полученные связи, мы найдем искомое изменение радиуса орбиты для уменьшения частоты обращения в 8 раз и линейной скорости в 2 раза.