Яким є коефіцієнт жорсткості пружини, якщо тіло масою 100 г здійснює коливання на цій пружині з амплітудою 5

Pugayuschiy_Lis

55

Щоб знайти коефіцієнт жорсткості пружини, спочатку використаємо формулу для періоду коливання \(T\) пружини:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

де \(m\) - маса тіла, що коливається, \(k\) - коефіцієнт жорсткості пружини.

Задано, що маса тіла \(m\) = 100 г = 0.1 кг.

Також задано амплітуду коливання \(A\) = 5 см = 0.05 м та максимальне значення модуля швидкості \(v_{\text{max}}\) = 5 м/с.

Максимальний модуль швидкості відповідає значенню швидкості на макисмальному відхиленні. Якщо \(v_{\text{max}} = \omega A\), де \(\omega\) - циклічна частота, тоді \(\omega = \frac{v_{\text{max}}}{A}\).

Формула періоду коливання може бути переписана так:

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \sqrt{\frac{m}{k}} \]

Підставивши значення, отримаємо:

\[ T = \frac{2\pi}{\frac{v_{\text{max}}}{A}} \sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{2\pi}{\frac{5}{0.05}} \sqrt{\frac{0.1}{k}} = 2\pi \cdot 0.05 \sqrt{\frac{0.1}{k}} \]

Знаючи, що період коливання \(T\) = 2 с, ми можемо розв"язати це рівняння:

\[ 2 = 2\pi \cdot 0.05 \sqrt{\frac{0.1}{k}} \]

Розкриваємо і спрощуємо рівняння:

\[ 1 = \pi \sqrt{\frac{0.1}{k}} \]

\[ \sqrt{\frac{0.1}{k}} = \frac{1}{\pi} \]

\[ \frac{0.1}{k} = \left(\frac{1}{\pi}\right)^2 \]

\[ k = \frac{0.1}{\left(\frac{1}{\pi}\right)^2} \]

\[ k = \frac{0.1}{\frac{1}{\pi^2}} \]

Знаходячи значення виразу, отримуємо:

\[ k \approx 98.36 \, \text{Н/м} \]

Отже, коефіцієнт жорсткості пружини становить приблизно 98.36 Н/м.