Якими будуть розміри сторін трикутника АВС, якщо відомо, що АВ = 7см, ВС = 8см, а кут С дорівнює 60°?

Arseniy

6

Для решения этой задачи мы можем использовать закон синусов. Закон синусов гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла одинаково для всех трех сторон. Давайте применим этот закон для нашей задачи.

Мы знаем, что стороны треугольника \(АВ\) и \(ВС\) равны 7 см и 8 см соответственно, а угол \(С\) равен 60 градусов.

Давайте обозначим неизвестные стороны треугольника. Пусть сторона \(AC\) равна \(х\) см, сторона \(BC\) равна \(у\) см.

Используя закон синусов, можно записать следующее соотношение:

\[\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{7}{\sin(60°)} = \frac{8}{\sin(\angle BAC)} = \frac{x}{\sin(60°)}\]

Для решения этого уравнения необходимо найти \(\sin(\angle BAC)\) и \(x\).

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому:

\[\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180°\]

Так как углы \(\angle ABC\) и \(\angle ACB\) равны 60 градусов каждый, заменим их в уравнении:

\[\angle BAC + 60° + 60° = 180°\]

Теперь найдем \(\angle BAC\):

\[\angle BAC = 180° - 120° = 60°\]

Теперь, когда у нас есть значение угла \(\angle BAC\), мы можем решить уравнение:

\[\frac{7}{\sin(60°)} = \frac{8}{\sin(60°)} = \frac{x}{\sin(60°)}\]

Решим это уравнение:

\[\frac{7}{\frac{\sqrt{3} }{2}} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3} }{2}} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} }{2}}\]

\[\frac{7 \cdot 2}{\sqrt{3} } = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3} } = \frac{x \cdot 2}{\sqrt{3} }\]

\[\frac{14}{\sqrt{3} } = \frac{16}{\sqrt{3} } = \frac{x}{\sqrt{3} }\]

Умножим обе стороны уравнения на \(\sqrt{3} \) для избавления от знаменателя:

\(14 = 16 = x\)

Таким образом, сторона \(AC\) треугольника будет равна 14 см, а сторона \(BC\) будет равна 16 см.

Итак, размеры сторон треугольника \(АВС\) составляют 14 см, 16 см и 7 см.