Якій площі повної поверхні має правильний тетраедр, якщо площа однієї його грані становить 5 квадратних сантиметрів?

Yaponka

28

Щоб знайти площу повної поверхні правильного тетраедра, спочатку розглянемо його структуру.

Тетраедр - це геометрична фігура, яка складається з чотирьох трьохкутників. Кожна грань тетраедра є рівностороннім трьохкутником. Тобто всі сторони кожного трьохкутника мають однакову довжину.

Так як ми знаємо, що площа однієї грані тетраедра становить 5 квадратних сантиметрів, давайте знайдемо довжину сторони цього рівностороннього трьохкутника.

Довжина сторони рівностороннього трьохкутника може бути знайдена за допомогою формули:
\[a = \sqrt{\frac{4A}{\sqrt{3}}},\]
де \(a\) - довжина сторони, \(A\) - площа грані тетраедра.

Підставимо відомі значення в формулу:
\[a = \sqrt{\frac{4 \cdot 5}{\sqrt{3}}}.\]

Обчислимо це вираз:
\[a = \sqrt{\frac{20}{\sqrt{3}}}.\]

Таким чином, ми знаємо довжину сторони рівностороннього трьохкутника.

Тепер, щоб знайти площу повної поверхні тетраедра, потрібно знайти площу кожної грані і додати їх разом.

Площа однієї грані тетраедра може бути знайдена за допомогою формули:
\[A_{\text{грані}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2,\]
де \(A_{\text{грані}}\) - площа грані, \(a\) - довжина сторони.

Підставимо значення довжини сторони в формулу:
\[A_{\text{грані}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\sqrt{\frac{20}{\sqrt{3}}}\right)^2.\]

Обчислимо це:
\[A_{\text{грані}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{20}{\sqrt{3}}.\]

Ми бачимо, що \(\sqrt{3}\) буде зніматися з додатнім знаком, тому:
\[A_{\text{грані}} = \frac{20}{4} = 5.\]

Отже, площа однієї грані тетраедра дорівнює 5 квадратним сантиметрам.

Так як тетраедр має 4 грані, площа повної поверхні тетраедра буде:
\[A_{\text{повна}} = 4 \cdot A_{\text{грані}} = 4 \cdot 5 = 20.\]

Отже, площа повної поверхні правильного тетраедра становить 20 квадратних сантиметрів.