Який є радіус кола, яке описує трикутник ABC, якщо точка О є центром вписаного в нього кола, ВО дорівнює 2 кореню

Svetik_3602

14

Для начала, давайте рассмотрим свойство вписанных углов в окружности. Если у нас есть треугольник ABC, описанный около окружности с центром O, то угол в точке A будет равен половине угла вписанного в эту окружность лежащего на этой дуге.

В данной задаче у нас данны угол A равен 120°. Так как угол в окружности составляет 360°, угол вписанного треугольника может быть найден по формуле:

\[
\angle A = \frac{{\text{{длина дуги}}}}{{\text{{радиус окружности}}}}
\]

Для нахождения длины дуги, необходимо знать радиус окружности и длину хорды дуги. В данном случае, длина хорды BC равна 2р, где р - это радиус описанной окружности.

Используя формулу косинусов для треугольника BOC, мы можем найти длину BC:

\[
BC^2 = BO^2 + OC^2 - 2 \cdot BO \cdot OC \cdot \cos(\angle BOC)
\]

Подставляя значения, получаем:

\[
BC^2 = (2\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \cos(120°)
\]

\[
BC^2 = 12 + 9 - 12\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
\]

Суммируя и упрощая, получаем:

\[
BC^2 = 21 + 6\sqrt{3}
\]

Теперь, используя формулу для длины дуги, которая равна длине дуги, деленной на радиус окружности:

\[
\frac{{\text{{длина дуги BC}}}}{{\text{{Радиус}}}} = \frac{{2р}}{{Радиус}}
\]

Мы можем записать равенство следующим образом:

\[
\frac{{BC}}{{Радиус}} = \frac{{BC^2}}{{р \cdot Радиус}}
\]

Решим это уравнение относительно радиуса:

\[
Радиус = \frac{{BC^2}}{{BC}}
\]

Подставляем значение BC, которое мы нашли ранее, и получаем:

\[
Радиус = \frac{{21 + 6\sqrt{3}}}{{\sqrt{21 + 6\sqrt{3}}}}
\]

Это является окончательным значением для радиуса окружности, описывающей треугольник ABC.