Якого периметру має квадрат, що вписаний в це коло, де площа правильного трикутника, що описаний навколо кола, дорівнює

Магнитный_Зомби

3

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Рассмотрим правильный треугольник, описанный вокруг данного круга. Такой треугольник имеет все стороны одинаковой длины, а также все углы равны 60 градусов. Пусть длина стороны этого треугольника равна \(a\) см.

Шаг 2: Площадь правильного треугольника, описанного вокруг данного круга, равна \(54\sqrt{3}\) см². Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

\[S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\]

Подставив известные значения в эту формулу, мы можем выразить длину стороны треугольника \(a\):

\[54\sqrt{3} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\]

Шаг 3: Для решения этого уравнения сначала уберем корень и домножим обе стороны на 4:

\[4 \times 54\sqrt{3} = a^2 \sqrt{3}\]

Шаг 4: Упростим выражение справа:

\[216\sqrt{3} = a^2 \sqrt{3}\]

Шаг 5: Для того чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[(216\sqrt{3})^2 = (a^2 \sqrt{3})^2\]

\[46656 \times 3 = a^4 \times 3\]

Шаг 6: Упростим выражение справа:

\[139968 = a^4\]

Шаг 7: Чтобы найти длину стороны треугольника \(a\), возьмем корень четвертой степени от обеих сторон уравнения:

\[\sqrt[4]{139968} = \sqrt[4]{a^4}\]

\[6\sqrt[4]{434} = a\]

Шаг 8: Теперь, когда мы знаем длину стороны треугольника \(a\), мы можем найти периметр квадрата, вписанного в данный круг. Периметр квадрата равен четырем умноженным на длину стороны квадрата:

\[P = 4 \times 6\sqrt[4]{434}\]

Шаг 9: Упростим полученное выражение:

\[P = 24\sqrt[4]{434}\]

Таким образом, периметр квадрата, вписанного в данный круг, равен \(24\sqrt[4]{434}\) см.