Якого радіуса повинен бути півкруг в тунелі, щоб площа його перерізу була максимальною, якщо переріз має форму

Lelya

70

Давайте решим данную задачу пошагово.

Пусть радиус полукруга в туннеле будет обозначен как \( r \).

Периметр прямоугольного перереза состоит из двух сторон прямоугольника и полукруга, добавленного в каждый угол прямоугольника. Так как у нас есть четыре угла, то периметр будет выглядеть следующим образом:

\[ P = 2a + 2(\pi r) \],

где \( a \) - длина стороны прямоугольника.

Площадь прямоугольного перереза можно найти как произведение его длины и ширины:

\[ S = a \cdot b \],

где \( b \) - ширина стороны прямоугольника.

Мы хотим найти радиус полукруга, при котором площадь перереза будет максимальной. Для этого нам нужно максимизировать площадь \( S \) при ограничении периметра \( P \).

Мы знаем, что периметр задан равным:

\[ P = 2a + 2(\pi r) \].

Выразим \( a \) из этого уравнения:

\[ a = \frac{P - 2(\pi r)}{2} \].

Теперь подставим выражение для \( a \) в уравнение для площади \( S \):

\[ S = \left(\frac{P - 2(\pi r)}{2}\right) \cdot b \].

Учитывая, что у нас должен быть прямоугольный перерез, то \( b \) должно быть половиной длины прямоугольника:

\[ b = \frac{a}{2} = \frac{P - 2(\pi r)}{4} \].

Теперь мы можем записать площадь \( S \) в терминах только радиуса \( r \):

\[ S = \left(\frac{P - 2(\pi r)}{2}\right) \cdot \left(\frac{P - 2(\pi r)}{4}\right) \].

Найдем экстремум площади, найдя ее производную по радиусу \( r \) и приравняв ее к нулю:

\[ \frac{dS}{dr} = 0 \].

Теперь продифференцируем \( S \) по \( r \):

\[ \frac{dS}{dr} = \frac{-2P\pi + 4\pi^2 r + P^2 - 4Pr}{8} \].

Приравняем производную к нулю:

\[ \frac{-2P\pi + 4\pi^2 r + P^2 - 4Pr}{8} = 0 \].

Решим данное уравнение относительно \( r \), чтобы найти радиус полукруга, при котором площадь перереза будет максимальной:

\[ -2P\pi + 4\pi^2 r + P^2 - 4Pr = 0 \].

\[ 4\pi^2 r - 2P\pi - 4Pr + P^2 = 0 \].

\[ r = \frac{2P\pi + 4Pr - P^2}{4\pi^2} \].

Таким образом, радиус полукруга должен быть равен:

\[ r = \frac{2P\pi + 4Pr - P^2}{4\pi^2} \].

Это и есть ответ на задачу. Используя данную формулу, вы сможете найти радиус полукруга в туннеле, чтобы площадь его перереза была максимальной.