Якому вектору дорівнює векторний добуток між векторами a(-5; 5; -5) та b(4; 11; -5)?

Evgeniy

41

Для решения данной задачи, мы можем использовать формулу векторного произведения:

\[\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}\]

где \(\mathbf{a} = (-5, 5, -5)\), \(\mathbf{b} = (4, 11, -5)\) и \(\mathbf{c}\) - искомый векторный результат.

Для вычисления векторного произведения, мы будем использовать следующую формулу:

\[
\mathbf{c} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
\]

где \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) - базисные векторы.

Подставляя значения векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) в эту формулу, получаем:

\[
\mathbf{c} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-5 & 5 & -5 \\
4 & 11 & -5 \\
\end{vmatrix}
\]

Вычислим определитель используя разложение по первой строке:

\[
\mathbf{c} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix}
5 & -5 \\
11 & -5 \\
\end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix}
-5 & -5 \\
4 & -5 \\
\end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix}
-5 & 5 \\
4 & 11 \\
\end{vmatrix}
\]

Далее, вычисляем определители матриц:

\[
\begin{vmatrix}
5 & -5 \\
11 & -5 \\
\end{vmatrix} = 5 \cdot (-5) - (-5) \cdot 11 = -25 + 55 = 30
\]

\[
\begin{vmatrix}
-5 & -5 \\
4 & -5 \\
\end{vmatrix} = (-5) \cdot (-5) - (-5) \cdot 4 = 25 + 20 = 45
\]

\[
\begin{vmatrix}
-5 & 5 \\
4 & 11 \\
\end{vmatrix} = (-5) \cdot 11 - 5 \cdot 4 = -55 - 20 = -75
\]

Подставляя найденные значения обратно в исходную формулу, получаем:

\[
\mathbf{c} = \mathbf{i} \cdot 30 - \mathbf{j} \cdot 45 + \mathbf{k} \cdot (-75)
\]

Таким образом, векторный результат равен:

\[
\mathbf{c} = (30, -45, -75)
\]