Якове значення косинуса кута B трикутника АВС, якщо координати точок А (1;-4), В (4,7) і С (-2;1)? Порівняйте

Михаил

10

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о геометрии и тригонометрии. Давайте по шагам найдем значение косинуса угла B.

1. Сначала нам нужно найти длины сторон треугольника АВС. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:

\[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Подставим координаты точек А(1,-4) и В(4,7):

\[AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (7 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 11^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130}\]

Аналогично найдем длины сторон BC и AC:

\[BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
\[BC = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\]
\[AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
\[AC = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\]

2. Зная длины сторон треугольника, мы можем применить косинусную теорему:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(B)\]

Подставим известные значения:

\[(6\sqrt{2})^2 = (\sqrt{130})^2 + (\sqrt{34})^2 - 2 \cdot \sqrt{130} \cdot \sqrt{34} \cdot \cos(B)\]

Упростим:

\[72 = 130 + 34 - 2 \cdot \sqrt{130 \cdot 34} \cdot \cos(B)\]
\[72 = 164 - 2 \cdot \sqrt{4420} \cdot \cos(B)\]

Теперь выразим косинус угла B:

\[2 \cdot \sqrt{4420} \cdot \cos(B) = 164 - 72\]
\[2 \cdot \sqrt{4420} \cdot \cos(B) = 92\]
\[\cos(B) = \frac{92}{2 \cdot \sqrt{4420}}\]
\[\cos(B) = \frac{46}{\sqrt{4420}}\]

3. Осталось найти прямой угол, чтобы сравнить его с углом B. Прямой угол равен 90 градусам, а теперь нужно сделать преобразование косинуса угла B в градусы.

\[\cos(B) = \frac{46}{\sqrt{4420}} \approx 0.8008\]
\[B \approx \arccos(0.8008) \approx 38.89^{\circ}\]

Итак, значение косинуса угла B в треугольнике АВС равно приблизительно 0.8008, а угол B примерно равен 38.89 градусов. Мы можем сравнить этот угол с прямым углом (90 градусов) и сказать, что угол B меньше прямого угла.

Надеюсь, что объяснение было полным и понятным. Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!