Яковою довжина діагоналі паралелограма зі сторонами 4 і 9 см і кутом між ними 120°?

Пушистик

69

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Она гласит, что для треугольника с сторонами \(a\), \(b\) и углом \(\theta\) между этими сторонами, квадрат третьей стороны \(c\) равен сумме квадратов двух других сторон и удвоенного произведения этих сторон на косинус угла \(\theta\):

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)\]

Известно, что параллелограмм имеет две пары равных сторон, и его диагонали делятся пополам. Таким образом, мы можем представить паралелограмм как два равнобедренных треугольника. Пусть \(AC\) и \(BD\) - диагонали параллелограмма, \(AB = 9\) см и \(AD = 4\) см. Угол \(\angle A\) между этими сторонами равен 120°.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника \(ABD\), чтобы найти длину диагонали \(AD\):

\[AC^2 = AD^2 + AB^2 - 2 \cdot AD \cdot AB \cdot \cos(\angle A)\]
\[AC^2 = 4^2 + 9^2 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot \cos(120°)\]

Так как \(\cos(120°) = -\frac{1}{2}\), подставим это значение:
\[AC^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]
\[AC^2 = 97 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]
\[AC^2 = 97 + 36\]
\[AC^2 = 133\]

Теперь найдем длину диагонали \(AC\) с помощью корня:
\[AC = \sqrt{133}\]
\[AC \approx 11.53\] (округляем до двух знаков после запятой)

Таким образом, длина диагонали параллелограмма с заданными сторонами и углом равна примерно 11.53 см.