Якою була початкова швидкість кинутого вгору каменю, якщо він на висоті 7,15 м побував двічі з проміжком в 0,2 секунди?

Morskoy_Skazochnik

19

Для розв"язання цієї задачі ми можемо скористатися формулою для висоти тіла від часу у руху вертикально вгору. Формула виглядає так:

\[h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2\]

де \(h\) - висота тіла від землі, \(v_0\) - початкова швидкість тіла, \(g\) - прискорення вільного падіння, \(t\) - час.

Так як камінь двічі побував на висоті 7,15 м з проміжком в 0,2 секунди, ми можемо скористатися цими даними для побудови системи рівнянь.

При першому підході на висоту 7,15 м, час буде рівний \(t_1\), а проміжок часу перед другим підходом буде рівний 0,2 секунди. Таким чином, другий підхід відбувається у часі \(t_1 + 0.2\).

Тепер підставимо ці значення в формулу:

\[7.15 = v_0 \cdot t_1 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t_1^2\]
\[7.15 = v_0 \cdot (t_1 + 0.2) - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (t_1 + 0.2)^2\]

Еквівалентна система рівнянь може бути записана так:

\[\begin{cases} v_0 \cdot t_1 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t_1^2 = 7.15 \\ v_0 \cdot (t_1 + 0.2) - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (t_1 + 0.2)^2 = 7.15 \end{cases}\]

Таку систему рівнянь можна розв"язати шляхом заміни однієї змінної на іншу. Підставляємо перше рівняння в друге:

\[v_0 \cdot (t_1 + 0.2) - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (t_1 + 0.2)^2 = v_0 \cdot t_1 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t_1^2\]

Розкриваємо дужки:

\[v_0 \cdot t_1 + v_0 \cdot 0.2 - 5 \cdot (t_1^2 + 0.4 \cdot t_1 + 0.04) = v_0 \cdot t_1 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t_1^2\]

Спрощуємо вираз:

\[v_0 \cdot 0.2 - 5 \cdot (0.4 \cdot t_1 + 0.04) = -\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t_1^2\]

Розв"язуємо це рівняння другого ступеня. Після спрощення отримуємо:

\[2v_0 -8t_1 + 0.2 = 5t_1^2\]

Підставляємо значення прискорення вільного падіння \(g = 10\) м/с²:

\[2v_0 - 8t_1 + 0.2 = 5t_1^2\]

Отримали квадратне рівняння. Для розв"язання його можна скористатися дискримінантом \(D\):

\[D = b^2 - 4ac\]

де \(a = 5\), \(b = -8\), \(c = -2v_0 + 0.2\).

Розраховуємо дискримінант:

\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2v_0 + 0.2)\]
\[D = 64 + 40v_0 - 4\]
\[D = 40v_0 + 60\]

Далі, знаходимо корені квадратного рівняння відповідно до значень дискримінанта:

Якщо \(D > 0\), то формула для квадратного рівняння дає два різних корені:

\[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
\[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Якщо \(D = 0\), то формула для квадратного рівняння дає один корінь:

\[t_1 = -\frac{b}{2a}\]

Знаючи значення \(t_1\) та \(t_2\), можна знайти значення \(v_0\) за допомогою першого рівняння системи:

\[v_0 = \frac{7.15 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t_1^2}{t_1}\]

Таким чином, відповідь на задачу буде значення \(v_0\), яке можна обчислити, використовуючи отримані значення \(t_1\) та \(t_2\).