Яку довжину має дуга кола, якщо центральний кут, що їй відповідає, становить 20 градусів?

Луна

54

Для решения этой задачи нам потребуются знания о связи между длиной дуги и центральным углом, а также о формуле для вычисления длины дуги в круге.

Формула для вычисления длины дуги (L) в круге задается следующим образом:

$$L=\frac{2\pi R\cdot \theta }{360}$$

Где:
L - длина дуги,
R - радиус круга,
$\theta$ - центральный угол в градусах.

В данной задаче мы знаем, что значение центрального угла составляет 20 градусов. Теперь нам остается найти радиус круга (R), чтобы подставить его в формулу и вычислить длину дуги.

Как найти радиус круга? Мы знаем, что центральный угол - это угол, образованный двумя радиусами круга, проведенными к концам дуги. Поскольку центральный угол равен 20 градусам, мы можем сказать, что наш круг имеет два радиуса, образованные углом 20 градусов между ними.

Теперь нам нужно найти длину одного из этих радиусов. Для этого нам понадобится тригонометрия. Вспомним, что радиус - это одна из сторон прямоугольного треугольника, а гипотенуза - это расстояние от центра круга до точки на окружности (длина дуги). Мы знаем, что центральный угол - это угол между радиусами, и он составляет 20 градусов. Теперь мы можем использовать тригонометрический косинус:

$$\cos ({20}^{\circ })=\frac{\text{{катет (радиус)}}}{\text{{гипотенуза (длина дуги)}}}$$

Решим это уравнение для радиуса:

$$\text{{радиус}}=\cos ({20}^{\circ })\cdot \text{{длина дуги}}$$

Теперь, имея формулу для длины дуги и найденную формулу для радиуса, мы можем объединить их и выразить длину дуги через центральный угол:

$$L=\frac{2\pi \cdot (\cos ({20}^{\circ })\cdot L)}{360}$$

Уберем дробь, умножив обе части уравнения на 360:

$$360\cdot L=2\pi \cdot (\cos ({20}^{\circ })\cdot L)$$

Разделим обе части уравнения на L:

$$360=2\pi \cdot \cos ({20}^{\circ })$$

Разделим оба члена уравнения на $2\pi$:

$$\frac{360}{2\pi }=\cos ({20}^{\circ })$$

Вычислим значение выражения $\frac{360}{2\pi }$:

$$\frac{360}{2\pi }\approx 57,296$$

Теперь найдем значение косинуса угла ${20}^{\circ }$ из таблицы значений тригонометрических функций или используем калькулятор. По таблице, $\cos ({20}^{\circ })\approx 0,9397$.

Подставим значение косинуса в уравнение:

$$0,9397=\cos ({20}^{\circ })$$

Поэтому, если центральный угол равен ${20}^{\circ }$, длина дуги составит примерно 57,296 единиц (тех, которыми измеряется радиус).