Яку масу повинна мати друга кулька, щоб після зіткнення перша кулька зупинилась, а друга кулька рухалась у зворотному

Тигрёнок_6342

57

Чтобы выразить эту ситуацию математически и найти массу второй кульки, мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии.

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы тел до и после столкновения должна оставаться неизменной. Импульс (p) равен произведению массы (m) на скорость (v). Таким образом, если первая кулька имеет массу \(m_1\) и скорость \(v_1\), а вторая кулька имеет массу \(m_2\) и скорость \(v_2\), то закон сохранения импульса можно записать следующим образом:

\[m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2\]

Чтобы обратиться к закону сохранения энергии, мы учитываем, что энергия сохраняется в абсолютно упругом столкновении. Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетической энергии до и после столкновения должна оставаться неизменной. Кинетическая энергия (KE) равна половине произведения массы на квадрат скорости. Таким образом, если первая кулька имеет массу \(m_1\) и скорость \(v_1\), а вторая кулька имеет массу \(m_2\) и скорость \(v_2\), то закон сохранения энергии можно записать следующим образом:

\[\frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(m_1\) и \(m_2\)). Мы можем использовать их для нахождения значения \(m_2\).

Из первого уравнения, получим:

\[v_2 = \frac{m_1 \cdot v_1}{m_2}\]

Теперь подставим это значение \(v_2\) во второе уравнение:

\[\frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} m_2 \cdot \left(\frac{m_1 \cdot v_1}{m_2}\right)^2\]

Сократим множители и решим уравнение:

\[m_1 \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} m_1^2 \cdot v_1^2\]

\[\frac{1}{2} m_1^2 \cdot v_1^2 - m_1 \cdot v_1^2 = 0\]

\[m_1^2 \cdot v_1^2 - 2m_1 \cdot v_1^2 = 0\]

\[v_1^2 (m_1^2 - 2m_1) = 0\]

Отсюда имеем два возможных варианта решения:

1. \(v_1 = 0\): Если \(v_1 = 0\), то получается, что первая кулька не двигается, а вторая кулька может иметь любую массу, и она тоже не будет двигаться.

2. \(m_1^2 - 2m_1 = 0\): Решим это квадратное уравнение:

\[m_1^2 - 2m_1 = 0\]

\[m_1(m_1 - 2) = 0\]

Отсюда имеем два возможных значения \(m_1\): \(m_1 = 0\) или \(m_1 = 2\). Если \(m_1 = 0\), то первая кулька не имеет массы, и вторая кулька может иметь любую массу, и она также не будет двигаться. Если \(m_1 = 2\), то первая кулька должна иметь массу 2 кг, чтобы вторая кулька, имеющая ту же скорость и противоположное направление движения, остановилась при столкновении.

Таким образом, чтобы первая кулька остановилась при столкновении, а вторая кулька двигалась с той же скоростью в противоположном направлении, масса второй кульки должна быть как минимум равной массе первой кульки, то есть \(m_2 \geq 2\) кг.