Яку швидкість потрібно надати штучному супутнику Землі, щоб він здійснював оберт по круговій орбіті на висоті
Яку швидкість потрібно надати штучному супутнику Землі, щоб він здійснював оберт по круговій орбіті на висоті 600 км над поверхнею Землі? Який час знадобиться йому на один повний оберт? Зауважте, що радіус Землі дорівнює r3=6400 км, а маса Землі m3=6×10^24 кг. (гравітаційна стала γ=6,67·10^(-11) Н·м^2/кг^2)
Solnce_V_Gorode 70
Щоб обчислити необхідну швидкість штучного супутника для перебування на круговій орбіті на висоті 600 км над поверхнею Землі, ми можемо скористатися законом всесвітнього тяжіння Ньютона. Закон наводиться наступним виразом:\[ F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]
де F - сила гравітації, G - гравітаційна стала, \( m_1 \) та \( m_2 \) - маси тіл, які знаходяться на відстані \( r \) одне від одного.
У цьому випадку ми маємо супутник Землі, тому \( m_1 \) буде маса Землі \( m_3 \). Тепер, щоб знайти силу \( F \), ми можемо замінити ці значення виразу:
\[ F = \frac{{G \cdot m_3 \cdot m_2}}{{r^2}} \]
На круговій орбіті суттєво важлива балансує сила гравітації та центростремительна сила. Центростремительна сила, \( F_c \), забезпечує рух супутника по круговій орбіті і визначається формулою:
\[ F_c = \frac{{m_2 \cdot v^2}}{r} \]
де \( v \) - швидкість супутника, \( r \) - відстань від центра Землі до супутника.
У круговому русі центростремительна сила дорівнює силі гравітації:
\[ F_c = F \]
Тому ми можемо прирівняти ці два вирази:
\[ \frac{{m_2 \cdot v^2}}{r} = \frac{{G \cdot m_3 \cdot m_2}}{{r^2}} \]
Замінюємо значення гравітаційної сталої \( G \), маси Землі \( m_3 \) і радіусу Землі \( r_3 \):
\[ \frac{{m_2 \cdot v^2}}{r} = \frac{{(6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2) \cdot (6 \cdot 10^{24} \, \text{кг}) \cdot m_2}}{{(6400 + 600 \, \text{км})^2}} \]
Тепер ми можемо скоротити масу супутника \( m_2 \) з обох сторін рівняння:
\[ v^2 = \frac{{6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \cdot 6 \cdot 10^{24} \, \text{кг}}}{{6400 + 600 \, \text{км}}} \]
\[ v^2 = \frac{{4,002 \cdot 10^{14} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг} \cdot \text{кг}}}{{(7000 \cdot 10^3 \, \text{м})^2}} \]
\[ v^2 = \frac{{4,002 \cdot 10^{14} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2}}{{49 \cdot 10^{12} \, \text{м}^2}} \]
\[ v^2 = 8,165 \cdot 10^{13} \, \text{м}^2/\text{с}^2 \]
Тепер ми можемо взяти квадратний корінь, щоб отримати швидкість \( v \):
\[ v = \sqrt{8,165 \cdot 10^{13} \, \text{м}^2/\text{с}^2} \]
\[ v \approx 2,86 \cdot 10^{6} \, \text{м/с} \]
Тепер, щоб знайти час, потрібний для повного оберту, ми можемо скористатися формулою:
\[ T = \frac{{2 \cdot \pi \cdot r}}{{v}} \]
Замінюємо значення радіусу \( r \) (600 км) і швидкості \( v \) (2,86 \cdot 10^{6} м/с):
\[ T = \frac{{2 \cdot 3,14 \cdot (6400 + 600 \, \text{км})}}{{2,86 \cdot 10^{6} \, \text{м/с}}} \]
\[ T = \frac{{3,14 \cdot 7000 \, \text{км}}}{{2,86 \cdot 10^{6} \, \text{м/с}}} \]
\[ T \approx \frac{{21980 \, \text{км}}}{{2,86 \cdot 10^{6} \, \text{м/с}}} \]
\[ T \approx 7679,72 \, \text{с} \]
Таким чином, штучному супутнику Землі потрібно близько 7679,72 секунди (або близько 2 години, 8 хвилин і 59 секунд) на здійснення одного повного оберту.